动态规划—最长公共子串

1、求最长公共子串的长度

问题描述：有两个字符串str和str2，求出两个字符串中最长公共子串长度。str=acbcbcef，str2=abcbced，则str和str2的最长公共子串为bcbce，最长公共子串长度为5。

算法思路：

把两个字符串分别以行和列组成一个二维矩阵。
比较二维矩阵中每个点对应行列字符中否相等，相等的话值设置为1，否则设置为0。
通过查找出值为1的最长对角线就能找到最长公共子串。

针对于上面的两个字符串我们可以得到的二维矩阵如下：

从上图可以看到，str1和str2共有5个公共子串，但最长的公共子串长度为5。

为了进一步优化算法的效率，我们可以再计算某个二维矩阵的值的时候顺便计算出来当前最长的公共子串的长度，即某个二维矩阵元素的值由record[i][j]=1演变为record[i][j]=1 +record[i-1][j-1]，这样就避免了后续查找对角线长度的操作了。修改后的二维矩阵如下：

C++代码实现如下:

string getLCS(string str1, string str2) {vector<vector<int> > record(str1.length(), vector<int>(str2.length()));int maxLen = 0, maxEnd = 0;for(int i=0; i<static_cast<int>(str1.length()); ++i)for (int j = 0; j < static_cast<int>(str2.length()); ++j) {if (str1[i] == str2[j]) {if (i == 0 || j == 0) {record[i][j] = 1;}else {record[i][j] = record[i - 1][j - 1] + 1;}}else {record[i][j] = 0;}if (record[i][j] > maxLen) {maxLen = record[i][j];maxEnd = i; //若记录i,则最后获取LCS时是取str1的子串}}return str1.substr(maxEnd - maxLen + 1, maxLen);
}

2、返回最长公共子串

所谓动态规划思想就是认为大问题可以被拆分成小问题。它一般有3个性质:

1、无论是总问题还是子问题都存在最优解。
2、某问题只取决于它的子问题，和由它组成的问题没关系。
3、各子问题之间大多是相互关联的。

它每一阶段都有各个子问题的最优解，各子问题的最优解，会产生往往会重复计算，于是用一个表把它们存储起来。具体到本问题就是每一个字符的相同，然后逐步到原来问题的解。本问题的解是两个字符串的最长公共子串，那么它的子问题的解的极限是1个字符是否相同。在解集中每个单元格的左上角的单元格就是前面相邻的两个字符是否相同。并且如果该单元格对应的下标不同，那么单元格可以立刻被置0.否则它就应该加上左上角的单元格中的解的值。应用动态规划算法以后时间复杂度变成了O(n^2)。

package com.company;public class Solution {static public String findLongestCommonSubstring0(String string0,String string1) {int[][] answerArray = new int[string0.length()][string1.length()];int maxSubstringLength = 0;int startLongestIndex = 0;for (int counter = 0;counter < string0.length();counter++) {for (int counter0 = 0;counter0 < string1.length();counter0++) {if (string0.charAt(counter) == string1.charAt(counter0)) {if (counter - 1 >= 0 && counter0 - 1 >= 0)answerArray[counter][counter0] = answerArray[counter - 1][counter0 - 1] + 1;else answerArray[counter][counter0] = 1;if (answerArray[counter][counter0] > maxSubstringLength) {maxSubstringLength = answerArray[counter][counter0];startLongestIndex = counter - maxSubstringLength + 1;}} else answerArray[counter][counter0] = 0;}}return string0.substring(startLongestIndex,startLongestIndex + maxSubstringLength);}
}