动态规划 dp03 最长公共子串问题 c代码

题目：

若序列Z是序列X的子序列，又是Y的子序列，则称Z是序列X与Y的公共子序列。例如序列"bcba"是序列"abcbdab"与"bdcaba"的公共子序列。
例如，给出序列X "hahafdreghsbacdba"和序列"acdbegshbdrabsa"，如何求取这两个序列的最长公共子序列？

这道题具有典型的最优子结构特性，即它的最优解一定包含子问题的最优解，这么看使用动态规划来解决是比较合理的。动态规划解题步骤通常由三个部分构成

1. 分阶段。

2. 状态迁移方程。

3. 寻找最优解。

对于这道题，字符数组a存储序列X，数组b存储序列Y，设i, j分别为数组a, b的指针。m[i][j]表示序列a[0] ~ a[i]与序列b[0]~b[j]的最长公共子序列，当a[i] == b[i]时，俩字符相等，最长公共子序列等于m[i-1][j-1] + 1; 如果字符不等，则

m[i][j] = MAX(m[i-1][j], m[i][j-1])；这个就是状态迁移方程。得到了状态迁移方程，在开始递推之前，需要知道边界情况，这里的边界情况就是当i等于0时，对于任意的0 <= j <= len(b), m[i][j] = 0; 同理，当j = 0时，任意的0 <= i <= len(a)， m[i][j] = 0。对于字符串而言，数组下标为0是有字符的，所以说这么算会带来处理上的不方便，既然顺序不方便那就是用倒序好了，假设m[i][j]表示序列a[i] ~ a[last]与序列a[j][last]的最长公共子序列长度，当i = len(a)的时候，任意的j值，m[i][j] = 0，这个也很好理解，i等于n，说明a里面没有字符，这时候对于任意的j值，m[i][j] = 0，同理对于j = len(b)，此时任意的i值，m[i][j] = 0。通常使用动态规划解决问题的时候，都存在两种递推方式，顺序递推和逆序递推，具体使用哪种根据具体问题来决定。

得到状态迁移方程，就可以知道最优解了，即m[0][0]；接下来就是打印最优解序列了，这个可以根据状态迁移方程来判断哪个字符在最优解序列中。

下面是该问题的c代码实现：

//最长公共子串的动态规划解法#include <stdio.h>
#include <string.h>#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))void main()
{int i, j, k, n, m[30][30] = {0};char astr[30+1] = "hsbafdreghsbacdba", bstr[30+1] = "acdbegshbdrabsa";n = strlen(astr);k = strlen(bstr);printf("string A : %s\n", astr);printf("string B : %s\n", bstr);//边界初始化for (i = 0; i < n; i++)m[i][k] = 0;for (j = 0; j < k; j++)m[n][j] = 0;//状态递推for (i = n - 1; i >= 0; i--){for (j = k - 1; j >= 0; j--){if (astr[i] == bstr[j])m[i][j] = m[i+1][j+1] + 1;elsem[i][j] = MAX (m[i+1][j], m[i][j+1]);}}//打印最优解printf("最长公共子串长度为：%d\n", m[0][0]); for (i = 0; i < n;){for (j = 0; j < k;){if (astr[i] == bstr[j]){printf("%c", astr[i]);i++;j++;}else{if (m[i][j] == m[i+1][j])i++;elsej++;}}}printf("\n");return;
}

参考资料：

1. 数据结构 : C语言版/ 严蔚敏，吴伟民编著

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