复数的引入

追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解

x2+1=0 x 2 + 1 = 0

x^2+1=0
这个由实数组成的方程，显然没有实数根。
所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。
首先引入一个“新数” i i i。使它满足

i2=−1" role="presentation">i2=−1i2=−1

i^2=-1
也就是说 i i i是

x2+1=0" role="presentation">x2+1=0x2+1=0

x^2+1=0
的解。
我们再给复数定义：
形如 z=a+bi z = a + b i z=a+bi的数就是复数。
其中 a a a和b" role="presentation" style="position: relative;">bbb分别叫做复数 z z z的实部和虚部。
注意，b" role="presentation" style="position: relative;">bbb才是虚部， bi b i bi不是虚部。
记作：

a=Re(z),b=Im(z) a = R e ( z ) , b = I m ( z )

a=Re(z),b=Im(z)

复数 z=a+bi z = a + b i z=a+bi的分类

当虚部 b=0 b = 0 b=0时，复数 z z z是实数；
当虚部b!=0" role="presentation" style="position: relative;">b!=0b!=0b!=0时，复数 z z z是虚数；
当虚部b!=0" role="presentation" style="position: relative;">b!=0b!=0b!=0，且实部 a=0 a = 0 a=0时，复数 z z z是纯虚数。

一些集合的记号

R——实数集，C——复数集" role="presentation">R——实数集，C——复数集R——实数集，C——复数集

R——实数集，C——复数集

P——虚数集，Q——纯虚数集 P — — 虚数集， Q — — 纯虚数集

P——虚数集，Q——纯虚数集
有下列关系：

R∩P=ϕ R ∩ P = ϕ

R\cap P=\phi

R∪P=C R ∪ P = C

R\cup P=C

Q⊊P⊊C Q ⊊ P ⊊ C

Q\subsetneq P\subsetneq C

复数相等的充分必要条件

设两个复数分别为 z1=a+bi z 1 = a + b i z_1=a+bi, z2=c+di z 2 = c + d i z_2=c+di，而二者相等的充分必要条件是 a=c a = c a=c而且 b=d b = d b=d。

化虚为实是复数问题的通性通法

复数的运算法则

对于两个复数 z1=a+bi z 1 = a + b i z_1=a+bi， z2=c+di z 2 = c + d i z_2=c+di
z1+z2=(a+c)+(b+d)i z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d ) i z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i
z1−z2=(a−c)+(b−d)i z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i
z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i z 1 × z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z_1\times z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
z1z2=a+bic+di=(a+bi)×(c−di)(c+di)×(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2 z 1 z 2 = a + b i c + d i = ( a + b i ) × ( c − d i ) ( c + d i ) × ( c − d i ) = ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i c 2 + d 2 \frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\times(c-di)}{(c+di)\times (c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}

复数的运算定律

复数的加法满足交换律，结合律。
也就是

z1+z2=z2+z1 z 1 + z 2 = z 2 + z 1

z_1+z_2=z_2+z_1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 )

(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)
复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。
也就是

z1×z2=z2×z1 z 1 × z 2 = z 2 × z 1

z_1\times z_2=z_2\times z_1

(z1z2)z3=z1(z2z3) ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 )

(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3

z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3

共轭复数

定义

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数 z=a+bi(a、b∈R) z = a + b i ( a 、 b ∈ R ) z=a+bi(a、b∈R)，它的共轭复数用 z¯=a−bi(a、b∈R) z ¯ = a − b i ( a 、 b ∈ R ) \bar z=a-bi(a、b∈R)来表示。
共轭复数有如下基本性质

(1)z1±z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯±z2¯¯¯¯¯ ( 1 ) z 1 ± z 2 ¯ = z 1 ¯ ± z 2 ¯

(1) \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}

(2)z1z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯ z2¯¯¯¯¯ ( 2 ) z 1 z 2 ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯

(2)\overline{z_1z_2}=\overline{z_1} \ \overline{z_2}

(3)(z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯ ( 3 ) ( z 1 z 2 ) ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯

(3)\overline{(\frac {z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}

(4)zn¯¯¯¯¯=(z¯¯¯)n ( 4 ) z n ¯ = ( z ¯ ) n

(4)\overline{z^n}=(\overline z)^n

(5)z+z¯¯¯=2Re(z),z−z¯¯¯=2iIm(z) ( 5 ) z + z ¯ = 2 R e ( z ) , z − z ¯ = 2 i I m ( z )

(5)z+\overline z=2Re(z),z-\overline z=2iIm(z)

(6)z¯¯¯¯¯¯=z ( 6 ) z ¯ ¯ = z

(6)\overline {\overline z}=z

(7)z是实数的充分必要条件是z¯¯¯=z;z是纯虚数的充分必要条件是z¯¯¯=−z且z!=0 ( 7 ) z 是实数的充分必要条件是 z ¯ = z ; z 是纯虚数的充分必要条件是 z ¯ = − z 且 z ! = 0

(7)z是实数的充分必要条件是\overline z=z;z是纯虚数的充分必要条件是\overline z=-z且z!=0

复数的几何形式

复数 z z z和复平面上的点Z(a,b)" role="presentation" style="position: relative;">Z(a,b)Z(a,b)Z(a,b)有着一一对应的关系，同时，复平面上的点 Z(a,b) Z ( a , b ) Z(a,b)和向量 OZ−→− O Z → \overrightarrow {OZ}有着一一对应的关系。所以复数 z z z和向量OZ→" role="presentation" style="position: relative;">OZ−→−OZ→\overrightarrow{OZ}有着一一对应的关系。
复数的模我们定义为对应向量的模。
也就是 |z|=a2+b2−−−−−−√ | z | = a 2 + b 2 |z|=\sqrt{a^2+b^2}
关于复数的模，有如下的基本性质。

(1)zz¯¯¯=|z|2=|z¯¯¯|2 ( 1 ) z z ¯ = | z | 2 = | z ¯ | 2

(1)z\overline z=|z|^2=|\overline z|^2;

(2)||z1|−||z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2| ( 2 ) | | z 1 | − | | z 2 | ≤ | z 1 ± z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 |

(2)||z_1|-||z_2|\leq |z_1\pm z_2|\leq |z_1|+|z_2|

(3)|z|≥max{|Re(z)|,|Im(z)|} ( 3 ) | z | ≥ m a x { | R e ( z ) | , | I m ( z ) | }

(3)|z|\ge max\{|Re(z)|,|Im(z)|\}

例题

已知复数 z1=(m−3)+(m−1)i,z2=(2m−5)+(m2+m−2)i z 1 = ( m − 3 ) + ( m − 1 ) i , z 2 = ( 2 m − 5 ) + ( m 2 + m − 2 ) i z_1=(m-3)+(m-1)i,z_2=(2m-5)+(m^2+m-2)i，且 z1>z2¯¯¯¯¯ z 1 > z 2 ¯ z_1>\overline {z_2}，试求实数 m m m的值。

解

由z1>z2¯" role="presentation" style="position: relative;">z1>z2¯¯¯¯¯z1>z2¯z_1>\overline {z_2}可知， z1 z 1 z_1、 z2¯¯¯¯¯ z 2 ¯ \overline{z_2}都是实数。
也就是有：

{m−1=0−(m2+m−2)=0 { m − 1 = 0 − ( m 2 + m − 2 ) = 0

\left\{ \begin{array}{c} m-1=0\\ -(m^2+m-2)=0 \end{array} \right.
解得 m=1 m = 1 m=1
因为 z1>z2¯¯¯¯¯ z 1 > z 2 ¯ z_1>\overline{z_2}，所以 m−3<2m−5 m − 3 < 2 m − 5 m-3，也就是 m<2 m < 2 m.
m=1 m = 1 m=1适合 m<2 m < 2 m。

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