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台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记(23) linear systems

linear system线性系统

线性系统和线性方程组实际上是解决的两类不同的问题。

下面一个系统。这个系统是一个矩阵，然后有input，让你求output

这个系统的关系： the relation between system matrix and output

这个线性系统的矩阵表示：

note the difference between the two formulation

为了说明和线性方程组的区别：请看下图

线性方程组和线性系统的区别：

线性方程组：知道output，想知道input

线性系统：不知道output，知道input，好奇经过线性系统后，output是什么

Eigenvalues and Eigenvectors特征值和特征向量

特征向量：找到一个向量v，使得矩阵A v= λ v，其中，拉姆达λ是常数

这样，就可以把这个复杂的矩阵A用常数拉姆达取代

然后把b分解，变成特征向量的分解，使得计算简化

下面解释特征值和特征向量

interpretation of Eigenvalues and Eigenvectors

系统中，当eigenvetor 作为系统的 Input的时候，我们需要查看这些input(特征向量)是放大还是缩小

通过具体的实例来看

下面给出一个很简单的矩阵A(系统),它有两个特征值和特征向量

经过A系统之后被放大：

下面我们来看如何求解特征值和特征向量

solving eigenvalues and eigenvectors

假设今天要算的问题是：

求出来矩阵A的特征值和特征向量

然后让b这个向量在特征向量方向上进行分解：

下一步：代入化简：

于是就有：

在matlab中怎样求特征值和特征向量？

函数eig()

使用方法：[v,d]= eig([2 -12; 1 -5])

参数的含义：v是特征向量(v1 和 v2)【注意是列向量】

d是特征值：λ

看例子：

代码：

[v,d]= eig([2 -12; 1 -5])

得到的结果：v是特征向量(v1 和 v2)【注意是列向量】

d是特征值：λ

下面

matrix exponential :expm()

典型的线性时不变系统：

系统是微分系统，怎么解

下面是老师给出的代码，让阅读，并且没有注释

matlab代码：

A=[ 0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10];

x0=[1;1;1];

X=[];

for t =0:.01:1

X= [X expm(t*A)*x0];

end

plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),’-o’);

xlabel(‘x_1’);

ylabel(‘x_2’);

zlabel(‘x_3’);

grid on;

axis tight square;

A=[ 0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10];

x0=[1;1;1];

X=[];

for t =0:.01:1

X= [X expm(t*A)*x0];

end

plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'-o');

xlabel('x_1');

ylabel('x_2');

zlabel('x_3');

grid on;

axis tight square;

运行结果：

【总结一下】

本文记录了线性系统的知识。讲解了特征值(eigenvalue)和特征向量(eigenvector)的原理，学会了求解矩阵的特征值和特征向量的函数eig()

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