矩阵论笔记（七）——矩阵的微分和积分

对矩阵求微分和积分，就是对其每个元素求微分和积分。

定义

导数：矩阵 A(t)=(aij(t))m×nA(t) = (a_{ij}(t))_{m\times n} 的每个元素可微，则称 A(t)A(t) 可微，其导数（微商）定义为 A′(t)=ddtA(x)=(ddtaij(t))m×nA'(t) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(x) = (\frac{\text{d}}{\text{d}t} a_{ij}(t))_{m\times n}；
积分：如果 A(t)A(t) 的每个元素都是 [t0,t1][t_0, t_1] 上的可积函数，则定义 A(t)A(t) 在 [t0,t1][t_0, t_1] 上的积分为 ∫t1t0A(t)dt=(∫t1t0aij(t)(d)t)m×n\int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t = (\int_{t_0}^{t_1} a_{ij}(t) \text(d)t)_{m \times n}；
连续性：
- 当 aij(t)a_{ij}(t) 在 [t0,t1][t_0,t_1] 上连续时，称 A(t)A(t) 在 [t0,t1][t_0,t_1] 上连续，且有 ddt∫taA(s)ds=A(t)\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_a^t A(s) \text{d}s = A(t)；
- 当 a′ij(t)a_{ij}'(t) 都在 [t0,t1][t_0,t_1] 上连续时，∫baA′(t)dt=A(b)−A(a)\int_a^b A'(t) \text{d}t = A(b) - A(a)。

定理

以下是矩阵微分和积分的运算规则，可自行证明：

定理一：

（1）ddt(A(t)+B(t))=ddtA(t)+ddtB(t)\frac{\text{d}}{\text{d}t} (A(t) + B(t)) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t) + \frac{\text{d}}{\text{d}t} B(t)；
（2）ddt(A(t)B(t))=B(t)⋅ddtA(t)+A(t)⋅ddtB(t)\frac{\text{d}}{\text{d}t}(A(t) B(t)) = B(t) \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t) + A(t) \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t} B(t)；
（3）ddt(aA(t))=dadt⋅A(t)+addtA(t)\frac{\text{d}}{\text{d}t} (a A(t)) = \frac{\text{d} a}{\text{d}t} \cdot A(t) + a \frac{\text{d}}{\text{d}t} A(t)。

定理二：

（1）ddtetA=AetA=etAA\frac{\text{d}}{\text{d}t} e^{tA} = Ae^{tA} = e^{tA} A；
（2）ddtcos(tA)=−A(sin(tA))=−(sin(tA))A\frac{\text{d}}{\text{d}t} \cos (tA) = -A (\sin(tA)) = -(\sin(tA))A；
（3）ddtsin(tA)=A(cos(tA))=(cos(tA))A\frac{\text{d}}{\text{d}t} \sin(tA) = A(\cos(tA)) = (\cos(tA))A。

定理三：

（1）∫t1t0(A(t)+B(t))dt=∫t1t0A(t)dt+∫t1t0B(t)dt\int_{t_0}^{t_1} (A(t) + B(t)) \text{d}t = \int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t + \int_{t_0}^{t_1} B(t) \text{d} t；
（2）∫t1t0A(t)Bdt=(∫t1t0A(t)dt)B\int_{t_0}^{t_1} A(t) B \text{d}t = (\int_{t_0}^{t_1} A(t) \text{d}t) B（BB 与 tt 无关）；
（3）∫t1t0A⋅B(t)dt=A(∫t1t0B(t)dt)\int_{t_0}^{t_1} A \cdot B(t) \text{d}t = A(\int_{t_0}^{t_1} B(t) \text{d} t)（AA 与 tt 无关）。

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