图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换,其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT( Discrete Cosine Transformation)，常用于图像处理和图像识别等。

一维离散余弦变换

正变换

(1)

(2)

式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量,u=1,2,3......N-1; f(x)是时域N点序列, x=0,1,2......N-1

反变换

（3）

显然，式(1)式(2)和式(3)构成了一维离散余弦变换对。

二维离散余弦变换

正变换

（4）

式(4)是正变换公式。其中f(x,y)是空间域二维向量之元素， x,y=0,1,2,......N-1；F(u,v)是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N×N

反变换

（5）

式中的符号意义同正变换式一样。式(4)和式(5)是离散余弦变换的解析式定义。

矩阵表示法

更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。根据以上公式定义可知，离散余弦变换的系数矩阵可以写成如下：

如果令N＝4，那么由一维解析式定义可得如下展开式。

写成矩阵式

若定义F(u)为变换矩阵，A为变换系数矩阵，f(x)为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式

[F(u)]=[A][f(x)] （6）

同理，可得到反变换展开式

写成矩阵式即

[f(x)]=[A]^T[F(u)] （7）

二维离散余弦变换也可以写成矩阵式：

[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]^T （8）

[f(x,y)]=[A]^T[F(u,v)][A]

式中[f(x,y)]是空间数据阵列，A是变换系数阵列，[F(u,v)]是变换矩阵，[A]T是[A]的转置。

对二维图像进行离散余弦变换

由以上对二维离散余弦变换的定义及公式（7）可知，求二维图像的离散余弦变换要进行以下步骤：

1.获得图像的二维数据矩阵f(x,y)；

2.求离散余弦变换的系数矩阵[A]；

3.求系数矩阵对应的转置矩阵[A]T；

4.根据公式（7）[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T 计算离散余弦变换；

源代码：

[java] view plain copy

package cn.edu.jxau.image;
import java.awt.image.BufferedImage;
/**
* 图像的变换
* @author luoweifu
*
*/
public class Transformation {
/**
* 要进行DCT变换的图片的宽或高
*/
public static final int N = 256;
/**
* 傅里叶变换
* @return
*/
public int[] FFT() {
return null;
}
/**
* 离散余弦变换
* @param pix 原图像的数据矩阵
* @param n 原图像(n*n)的高或宽
* @return 变换后的矩阵数组
*/
public int[] DCT(int[] pix, int n) {
double[][] iMatrix = new double[n][n];
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
iMatrix[i][j] = (double)(pix[i*n + j]);
}
}
double[][] quotient = coefficient(n); //求系数矩阵
double[][] quotientT = transposingMatrix(quotient, n); //转置系数矩阵
double[][] temp = new double[n][n];
temp = matrixMultiply(quotient, iMatrix, n);
iMatrix = matrixMultiply(temp, quotientT, n);
int newpix[] = new int[n*n];
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
newpix[i*n + j] = (int)iMatrix[i][j];
}
}
return newpix;
}
/**
* 矩阵转置
* @param matrix 原矩阵
* @param n 矩阵(n*n)的高或宽
* @return 转置后的矩阵
*/
private double[][] transposingMatrix(double[][] matrix, int n) {
double nMatrix[][] = new double[n][n];
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
nMatrix[i][j] = matrix[j][i];
}
}
return nMatrix;
}
/**
* 求离散余弦变换的系数矩阵
* @param n n*n矩阵的大小
* @return 系数矩阵
*/
private double[][] coefficient(int n) {
double[][] coeff = new double[n][n];
double sqrt = 1.0/Math.sqrt(n);
for(int i=0; i<n; i++) {
coeff[0][i] = sqrt;
}
for(int i=1; i<n; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
coeff[i][j] = Math.sqrt(2.0/n) * Math.cos(i*Math.PI*(j+0.5)/(double)n);
}
}
return coeff;
}
/**
* 矩阵相乘
* @param A 矩阵A
* @param B 矩阵B
* @param n 矩阵的大小n*n
* @return 结果矩阵
*/
private double[][] matrixMultiply(double[][] A, double[][] B, int n) {
double nMatrix[][] = new double[n][n];
double t = 0.0;
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<n; j++) {
t = 0;
for(int k=0; k<n; k++) {
t += A[i][k]*B[k][j];
}
nMatrix[i][j] = t; }
}
return nMatrix;
}
}

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