DCT 变换的基函数与基图像

1. 图像变换的基函数

在图像的二维变换中, 如果图像本身是正方形的 (图像的长与宽相等), 并且图像的变换核满足课可分离性和对称性, 则此时图像的二维变换可以用两个一维变换代替, 并有如下的矩阵表示形式(更过细节请参考离散余弦变换(DCT) 的来龙去脉)

其中 是进行图像一维变化的时的矩阵, 很多时候人们会误认为这个就是图像二维变换的基函数, 这时不对的, 因为在冈萨雷斯的数字图像处理中是这样定义基函数及基图像的考虑大小为 的子图象 , 其离散变换 可以表示为如下的关系

其中 , 其中的 被称作是基函数或者是基图像所以并不是 是基函数, 而是 那 可不可以用 来表示呢? 明显是不可以的, 要不也就不用将它变成两个一维变换代替了具体应该如何计算呢, 将在第三部分如何绘制基图像中给出

2. 图像变换的基图像

以二维 DCT 变换为例介绍图像二维变换的基图像, 如下图所示为 DCT 变换的基图像

图 1. n=4 时的 DCT 基函数对应的基图像

这是根据基函数绘制出的由 16 个小块组成的基图像, 其中每个小块由 4×4 个元素 (子方块) 组成为了得到左上角块, 我们令 , 并画出 时 的值顶部行中的第二块是 在 时的值的图像, 依次类推可以画出其余所有的图像

3. 如何绘制基图像

3.1 原理部分

由上述内容可以知道, 基图像就是固定 之后得到的变换核在所有可能取值的 上构成的图像, 实际上这个图像也是可以根据矩阵计算生成的, 根据离散余弦变换 (DCT) 的来龙去脉)可知变换矩阵 如下图所示

图 2. DCT 变换矩阵及两坐标轴意义

上图是根据一维变换核 得到的变换矩阵, 从图 2 可以看到, 水平方向取的是不同的 的值, 竖直方向取得的是不同的 的值, 原点位于左上角; 同样变换矩阵 如下图所示

图 3. DCT 变换矩阵的转置及两坐标轴意义

因此我们可以看到, 当求图 1 左上角的基图像时, 只需要将图 3 中的第一列乘以图 2 中的第一行即可; 当求图 1 顶部行中的第二块的基图像 () 时, 只需要图 3 中的第二列乘以图 2 中的第一行即可, 依次便可以计算整幅基图像

3.2 Matlab 实现

如果按照上面介绍的方法进行编程实现的话, 相信一定是一个两层循环的程序但是根据使用矩阵运算替代 for 循环实现信号的 DTFT 的思想, 这样的一个针对与方阵进行的 for 循环基本上都可以写成矩阵相乘的形式比如我们现在的两个矩阵是如下的两个简单的二维矩阵

图 4. 简单二维矩阵

如果按照上述介绍的方法, 得到的基函数为

但这样的过程也可以通过两矩阵相乘的形式得到, 如下所示

观察这两个结果可以看到, 只有矩阵的右上角与左下角不同但是实际上这两部分是对称的, 对应到图 1 的基图像上只是出现水平条纹与竖直条纹的位置发生了变换但是本身图像就是关于对角线对称的, 因此这两个位置发生了变换也没有什么关系, 另一方面, 从右上角和左下角的矩阵的组成可以看到, 右上角的实际上应该是水平的图案, 而左下角是垂直的图案, 这与图 1 中的图像相同

实验结果如下图所示

这个图像与图 1 明显不同, 并不是计算的过程有问题, 是因为在上述计算的基函数矩阵中有整数有负数, 但是灰度图像应该是在 [0,1] 区间内的, 所以需要将计算后的值放缩到 [0,1] 区间内这样修改后的实验结果如下图所示

采用 MATLAB 实现的代码请参考: http://download.csdn.net/download/dugudaibo/10143437

来源: http://blog.csdn.net/dugudaibo/article/details/78701487