一、RGB三维图像的卷积

首先复习以下二维卷积运算的过程：

然后让我们看看三维图像如何进行有效的卷积运算。

计算方法和二维卷积类似，从三维图像中划分出3×3×33\times3\times33×3×3的方块（称为卷积立方体），对这27个像素点进行卷积，即逐个元素与过滤器相乘求和，得到输出二维矩阵中的一个值。

三维图像和过滤器可以有不同的高和宽，但是必须有相同的通道数。在RGB这个例子中，就是有R G B三个颜色通道（组成图像中的任意颜色）

二、叠加过滤器

试想一个问题，用前面的方法可以实现垂直边缘检测和水平边缘检测，但是如果我们要检测的是更一般的边缘呢（换句话说：想检测更多的特征信息）？比如43°。这个时候需要一种方法，叫做过滤叠加。

使用垂直边缘检测过滤器，得到垂直边缘检测结果【二维】。
使用水平边缘检测过滤器，得到水平边缘检测结果【二维】。
将垂直和水平边缘检测矩阵叠加得到【三维】结果。
该【三维】结果叠加了垂直和水平检测的效果。

来看看老师的示意图：

三、维度总结

三维图像：n×n×ncn\times n\times n_cn×n×nc
过滤器：f×f×ncf\times f\times n_cf×f×nc
卷积输出：n−f+1×n−f+1×nc′n-f+1\times n-f+1\times n_c'n−f+1×n−f+1×nc′
其中，nc′=n_c'=nc′= #filtersfiltersfilters
注意，这里用到的padding=valid，stride=1.
所以更一般的卷积输出如下：
n+2p−f+1s×n+2p−f+1s×nc′\frac{n+2p-f+1}{s}\times \frac{n+2p-f+1}{s}\times n_c'sn+2p−f+1×sn+2p−f+1×nc′
输出的通道数nc′n_c'nc′等于过滤器的数量，也等于检测的特征数（在上述RGB图像例子中，检测垂直和水平边缘两个特征）

四、单层卷积网络

计算单层网络中参数的个数
单层中图像是3×3×33\times3\times33×3×3，过滤器数量为10，问该层有多少个参数？

每层27个位置，卷积运算后加上1个偏置值b，得到每个过滤器卷积时需要28个参数。
一共10个过滤器，作10次上述过程，共计280个参数。

可以看到，不管图像有多大，参数并不多，取决于过滤器的数量和大小，这个在卷积神经网络中称为避免过拟合。

五、符号说明

f[l]f^{[l]}f[l]：第lll层的过滤器大小

p[l]p^{[l]}p[l]：第lll层的padding数量

s[l]s^{[l]}s[l]：第lll层的stride步长

nc[l]n_c^{[l]}nc[l]：第lll层的过滤器数量

f[l]×f[l]×nc[l−1]f^{[l]}\times f^{[l]}\times n_c^{[l-1]}f[l]×f[l]×nc[l−1]：第lll层的过滤器维度

f[l]×f[l]×nc[l−1]×nc[l]f^{[l]}\times f^{[l]}\times n_c^{[l-1]}\times n_c^{[l]}f[l]×f[l]×nc[l−1]×nc[l]：第lll层的权重维度

nc[l]:1×1×1×nc[l]n_c^{[l]} :1\times1\times1\times n_c^{[l]}nc[l]:1×1×1×nc[l]：第lll层的偏置维度

nH[l−1]×nW[l−1]×nc[l−1]n_{H}^{[l-1]}\times n_{W}^{[l-1]}\times n_c^{[l-1]}nH[l−1]×nW[l−1]×nc[l−1]：第lll层的输入维度

nH[l]×nW[l]×nc[l]n_{H}^{[l]}\times n_{W}^{[l]}\times n_c^{[l]}nH[l]×nW[l]×nc[l]：第lll层的输出维度

m×nH[l]×nW[l]×nc[l]m\times n_{H}^{[l]}\times n_{W}^{[l]}\times n_c^{[l]}m×nH[l]×nW[l]×nc[l]：第lll层【m个样本】的输出维度（深度学习中的向量化技术）

nH[l]=⌊nH[l−1]+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋n_{H}^{[l]}=\lfloor{\frac{n_{H}^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1}\rfloornH[l]=⌊s[l]nH[l−1]+2p[l]−f[l]+1⌋

nW[l]=⌊nW[l−1]+2p[l]−f[l]s[l]+1⌋n_{W}^{[l]}=\lfloor{\frac{n_{W}^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1}\rfloornW[l]=⌊s[l]nW[l−1]+2p[l]−f[l]+1⌋

六、卷积神经网络作图像分类

第一次卷积：

第二次卷积：

第三次卷积：

对最后一次卷积结果展开成一列向量，logistic/softmax回归得到预测结果。

七、卷积神经网络中的典型层类型

卷积层 Convolution（CONV）
池化层 Pooling（POOL）
全连接层 Fully Connected（FC）

虽然只搭建卷积层可以实现卷积神经网络，但是神经网络架构师通常会用上池化层和全连接层搭建神经网络，这两层网络比卷积层更容易搭建。将这三者结合起来，能搭建更为强大的神经网络。

祝大家2021新年快乐！祝自己2021年收获满满，能达到自己的预期！

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