文章目录

  • 前言
  • 一、李代数是什么？
  • 二、源码解析
    • ```1. __init__```
    • ```2. __add__```
    • ```3. magnitude```
    • ```4. exp```
    • ```5. vector```
    • ```6. matrix```
  • 三、二次开发
  • 总结

前言

有好久没更新博客，比较惭愧，这次索性给出一个深入一点的文章——在python中实现李代数。

一、李代数是什么？

简而言之，李代数可以用来描述物体在某个参考系下的状态（姿态或者位姿），可以用一个多维（三维或者六维）矢量来表示。说到李代数，就不得不提到李群，每个李群都有与之对应的李代数。懂的人都懂，我就不详细阐述了，对于做slam的人，这都是基础知识。
在此祭出《视觉slam十四讲》中的一个关系图：

在C++中有专用的sophus库，可以非常方便地调用李代数。在python中，该如何使用李代数呢？笔者在github上搜到了一个开源库，基于numpy定义了李代数，且实现了与李群的转换，使用非常方便，因此在此贡献出来。
https://github.com/franciscodominguezmateos/pySophus

二、源码解析

以旋转矩阵对应的李代数so3为例：

代码如下：

class so3(Algebra):"""3D rotation Lie algebra"""G1 = np.matrix([[0, 0, 0],[0, 0, -1],[0, 1, 0]])G2 = np.matrix([[0, 0, 1],[0, 0, 0],[-1, 0, 0]])G3 = np.matrix([[0, -1, 0],[1, 0, 0],[0, 0, 0]])def __init__(self, **kwargs):"""Algebra element constructor:param kwargs: must be `matrix = ndarray` with dimensions 3x3 or `vector = ndarray` with dimensions 1x3:type kwargs:raises TypeError, if the needed argument (matrix or vector) is not given"""if "vector" in kwargs:self.w = kwargs["vector"]elif "matrix" in kwargs:m = kwargs["matrix"]self.w = np.array([0, 0, 0])self.w[0] = m[2, 1]self.w[1] = m[0, 2]self.w[2] = m[1, 0]else:raise TypeError("Argument must be matrix or vector")def __add__(self, other):"""Returns the algebra element for the equivalent rotation as applying the given ones one after the other:param other: element to add this element to:type other: so3:return: equivalent algebra element:rtype: so3"""R1 = self.exp()R2 = other.exp()R = R1 * R2return R.log()def magnitude(self):"""Given the vector w=(wx,wy,wz) returns its norm, which is how many radians this rotation makes around the normalized vector:return: radians this rotation makes:rtype: float"""return np.linalg.norm(self.w)def exp(self):""":return: group element associated with this algebra element:rtype: SO3"""wx = self.matrix()theta = np.linalg.norm(self.w)cs = np.cos(theta)sn = np.sin(theta)I = np.eye(3)a = (sn / theta) if theta != 0 else 1b = ((1 - cs) / theta ** 2) if theta != 0 else 1 / 2.0R = I + a * wx + b * wx.dot(wx)return SO3(R)def vector(self):""":return: this algebra element represented as vector (1x3):rtype: ndarray"""return self.wdef matrix(self):""":return: this algebra element represented as skew matrix (3x3):rtype: ndarray"""return so3.G1 * self.w[0] + so3.G2 * self.w[1] + so3.G3 * self.w[2]

1. __init__

定义了李代数so3的实现方式：vector或者matrix，分别表示可以通过一个三维向量或者其反对称矩阵来生成李代数。

2. __add__

两个so3相加，等于其对应的李群(exp)相乘，然后再变成李代数(log)。

3. magnitude

给出对应的旋转角度。

4. exp

将李代数变成对应的李群，即：旋转矩阵R。

5. vector

给出李代数的矢量形式。

6. matrix

给出李代数的反对称矩阵形式。

三、二次开发

该库并没有实现李代数或者李群与四元数的转换，在此笔者自己增加了该内容，如下所示：

    def quaternion(self):""":return:  this algebra element represented as quaternion (1x4)"""theta = np.linalg.norm(self.w[:3])u = self.w[:3] / thetaq = np.zeros(4)q[0] = np.cos(0.5 * theta)q[1] = u[0] * np.sin(0.5 * theta)q[2] = u[1] * np.sin(0.5 * theta)q[3] = u[2] * np.sin(0.5 * theta)return q

基于so3给出了其到四元数的转换。方法非常简单，利用旋转向量来定义四元数：
q=[cosθ2,n⃗sinθ2]q=[cos\frac{\theta}{2}, \vec n sin\frac{\theta}{2}] q=[cos2θ​,nsin2θ​]

总结

本文分享了一种在python中实现李代数的方法，源码简单明了，只依赖于numpy库，非常实用，也便于在次基础上做二次开发。

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