最小生成树-python实现

一.Prim算法

算法思想 :

1.将所有得顶点分为两类（U,U-V）初始状态顶点全在U-V中

2.随意从U-V选择一个顶点到U中

3.然后从U 中的顶点开始到U-V中的顶点，找到一个权值最小的边，然后将此边的尾部的顶点加入到U中

4.重复3的操作，直到U-V中的所有顶点移入到U

如图1 开始的时候加入1 到U集合中此时U={1},U-V={2,3,4,5}

寻找U中顶点连接着的最小权值得顶点也就是1连接着得最小得权值

图二找到一条最小权值得边 1->4 将顶点4加入到U中此时此时U={1,4},U-V={2,3,5}

然后继续寻找U中顶点连接着得最小得权值，不过此时有U中有两个顶点，

需要找得是两个顶点连接着得最小权值

找到了 1->2 这条边，将顶点2加入到U中，此时U={1,2,4},U-V={3,5}

然后继续重复寻找U中顶点连接着得顶点最小得权值

找到了 2 ->3 ，将顶点3加入到U ,此时U={1,2,3,4},U-V={5}

然后继续寻找最小权值

找到了 1->5, 将顶点5加入到U ,此时U={1,2,3,4,5},U-V={}

最小生成树构造完成

代码展示

例题： P2820 局域网 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

其中从U向U-V顶点寻找最小权值，借用一个数组来完成

max = 9999
versum, edgesum = map(int, input().split())
edge = [[max for o in range(versum+1)] for i in range(versum+1)]  # 记录w 用0记录数据不连通
ver = [o for o in range(versum+1)]
total_w =0
for i in range(edgesum):a, b, data = map(int, input().split())edge[a][b] = datatotal_w += dataedge[b][a] = data
class node():  # 数组中元素得类型def __init__(self, ver, w):self.ver = verself.w = w
def prim():#u   此为借助得数组，此数组元素表示 ver ->此元素在数组的索引(索引即表示哪一个顶点)，以及之间的权值w，如果为0 的话则表示此顶点已加入到U中#默认以1顶点开始进行查找,也可指定其他的#对数组进行初始化，让数组表示从1 到其它顶点的权值，也就是从U->U-Vu = [node(ver[1], edge[1][_]) for _ in range(versum+1)] # _ ==0时无意义，只为了方便索引u[1].w = 0 # 加入到U中s = 0for j in range(versum - 1):  # 寻找足够数量得边maxx = 9999for i in range(1,versum+1):  # 寻找数组在中最小w的值，记录此下标if maxx > u[i].w and u[i].w != 0:  # 0 表示此顶点已加入Umaxx = u[i].wpos = is += u[pos].w #求权值wu[pos].w = 0 #将顶点加入到U#对数组进行更新，以表示新加入顶点，到其他顶点的最小的权值for j in range(1,versum+1):if edge[pos][j] < u[j].w: #新加入的顶点到其他顶点的w，小于原来顶点到其他顶点的值u[j].ver = ver[pos]        #更新u 表示新节点到其他节点的(j)w值u[j].w = edge[pos][j]return s #返回权值记录之和
if __name__  =="main":s = prim()print(total_w - s)

二 Kruskal算法

算法思想 :

将所有边的权值按照从小到大做升序排序，从最小的开始选择，新加入的只要不与原来的边构成环路，就可加入到最小生成树的构件中

其中，如何判断是否能构成环路，则需要借助一个标记数组，此数组用以表示顶点与谁相连，也就是该顶点属于哪个派系（开始的时候默认为与自己本身相连）借用flag[] 表示

将所有的权值进行升序排序

2->3	1->4	1->2	3->4	1->5	4->5
2	3	5	6	7	8

最小的为 2->3 ,此时查找 2 ，3 的标记不相同，不存在环路，加入 2->3 ,将 3 的标记换成顶点2 的标记，也就是让顶点3 加入到顶点1 的派系。

然后选择 1->4 查找顶点1 顶点4 的标记，不相同，不构成环路，将 1->4 加入,顶点4 的标记该为顶点一的标记，也就是顶点 4 加入到顶点 1 的派系

选择1->2, 查找1 2 属于哪两个派系也就是查标记，标记不相同，将派系 2 加入到派系1 中，派系2 中的所有成员也跟着加入（再次查询3所属派系时，才会改变为派系1）

选择最3->4，查找 3 ，4 的派系，4 属于派系1 ，其中顶点3 原本属于派系2但是派系2改变为了派系1，所以 3 属于派系1 ，两者派系相同因此舍弃，

然后选择 1->5 ，1 5 所属派系不同，不构成环路，5加入派系1 中

选择完成，最小生成树构造完成

代码实现

例题 P3366 【模板】最小生成树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

  #此代码表示数据的存储 totals_w = 0 #计算所有的权值global edge,Versum,edgesum,flag,rankVersum,edgesum = map(int,input().split())edge = [ list(map(int,input().split())) for _ in range(edgesum)]flag = [i for i in range(Versum+1)] #每一个值都有一个标记

#find 查找用以寻找该顶点所属的派系

def find(x): #查找顶点与谁连通if flag[x] !=x: flag[x] = find(flag[x]) #路径优化操作，将顶点的派系变为一致return find(flag[x])else:return  x
def kruskal():#寻找最小权重的弧total_w =0 #记录权值ans = 0 #加入边的数量edges = sorted(edge,key = lambda x:x[2]) #对边进行升序排序for i in range(edgesum): x = find(edges[i][0])y = find(edges[i][1])if x !=  y :#返回是否构成回路flag[x] =ytotal_w +=  edges[i][2]ans+=1 if(ans == Versum-1):return total_welse:return "orz"

完整代码

def find(x):if flag[x] !=x:flag[x] = find(flag[x]) return find(flag[x])else:return  x
def kruskal():#寻找最小权重的弧total_w =0ans = 0edges = sorted(edge,key = lambda x:x[2]) #对弧形进行排序for i in range(edgesum): x = find(edges[i][0])y = find(edges[i][1])if x !=  y :#返回是否构成回路flag[y] =xtotal_w +=  edges[i][2]ans+=1if(ans == Versum-1):return total_welse:return "orz"
def main():totals_w = 0global edge,Versum,edgesum,flag,rankVersum,edgesum = map(int,input().split())edge = [ list(map(int,input().split())) for _ in range(edgesum)]flag = [i for i in range(Versum+1)] #每一个值都有一个标记#rank = [i for i in range(Versum+1)]  #用于确定谁的大小total_w = kruskal()print(total_w)
if __name__ == "__main__":main()

其中find 属于并查集思想，也就是顶点之间连接的所属关系

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