CF1631F. Flipping Range dp **

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dp， 2400，非常妙的一道题目
类似这种每次操作都是对连续 k k k 位进行的不妨用对位置取模的dp

题意

给定数组 a a a 和集合 B B B，你可以进行如下操作任意多次（可以为0次）： ∀ x ∈ B ，翻转数组 a 中连续的 x 位，同一个 x 也可以多次取出 \forall x\in B，翻转数组a中连续的x位，同一个x也可以多次取出 ∀x∈B，翻转数组a中连续的x位，同一个x也可以多次取出
问： m a x Σ a i max\space \Sigma a_i max Σai

思路

首先假设 x , y ∈ B ( x > y ) x,y\in B(x > y) x,y∈B(x>y)，则我们可以把任意一个长度为x-y的区间翻转，容易得到翻转的最小长度即为g=gcd(b1,b2,...bn)，所以问题简化为了：

给定 a , g a,g a,g，每次操作可以翻转数组 a a a 中连续的 g g g 位，求 m a x Σ a max\space\Sigma a max Σa
构造一个数列 c c c ，若最后 a i a_i ai 乘了-1，则 c i = 1 c_i=1 ci=1，否则 c i = 0 。 c_i=0。 ci=0。
设 f x = ⨁ i % g c i , x ∈ [ 0 , g − 1 ] f_x=\bigoplus_{i\%g}c_i,x\in [0,g-1] fx=⨁i%gci,x∈[0,g−1]，由于是翻转连续的g位，所以每次操作相当于 ∀ x ∈ [ 0 , g − 1 ] ， f x = f x ⨁ 1 \forall x\in[0,g-1]，f_x = f_x\bigoplus1 ∀x∈[0,g−1]，fx=fx⨁1也就是无论怎样变换，所有的 f x f_x fx 都是相等的，同为1or同为0。
另一方面，我们也可以通过变换得到任意一个 f x f_x fx 相等的局面，所以f_x均为1或0是一个序列合法的等价条件
以此进行dp。
设dp[i][1/0]表示当前进行到第 i i i 位，且进行了1/0（奇/偶次）变换后得到的 a i + a i − g + . . . a_i+a_{i-g}+... ai+ai−g+...最大值。最后的答案就是1/0中大的那个。

int n, m;
int gcd(int a, int b) {if(!b) return a;return gcd(b, a % b);
}
int a[maxn];
ll dp[maxn][2];//dp[i][0]表示(i+1)%g位置共操作偶数次 [i][1]表示共操作奇数次
void solve() {cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];}int g = 0;while(m--) {int x;cin >> x;g = gcd(g, x);}// cout << g << endl;for(int i = 1; i <= g; i++) {dp[i][1] = -a[i];dp[i][0] = a[i];}for(int i = g + 1; i <= n; i++) {dp[i][1] = max(dp[i-g][0] - a[i], dp[i-g][1] + a[i]);dp[i][0] = max(dp[i-g][1] - a[i], dp[i-g][0] + a[i]);}ll sum1 = 0, sum0 = 0;for(int i = n-g+1; i <= n; i++) {sum1 += dp[i][1];sum0 += dp[i][0];}cout << max(sum1, sum0) << endl;
}

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