几何分布的期望与方差

高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。

（1）由，知

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

两式相减，得

由，知，则，故

从而

也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：

记

相减，

则

还可用导数公式，推导如下：

上式中令，则得

（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：，并用倍差法求和，有

则，因此

利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差。

解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此

。可见服从几何分布。所以

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

若，则表明他前次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为

用倍差法，可求得

所以

说明：本例的试验是有限次的，并且，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。

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