线性代数常用名词详解

vector

向量
对于x，y，z是向量，c，d为常数
x+y=y+x
x+(y+z)=(x+y)+z
x+0=x
c(x+y)=(cx)+(cy)
c(dy)=(cd)y
xy=yx
(cx)y=c(xy)
x*(y+z)=xy+xz

matrix

矩阵
对于矩阵A，B，C，c为常数
A(BC)=(AB)C
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
r(AB)=(rA)B=A(rB)

transpose

矩阵转置

EF（Echelon Form）

阶梯矩阵
1.全为0的行在矩阵的最底层
2.每个leading entry（每行第一个不是0的元素），与上一行相比都在右面，（leading entry也被称为pivot)
3.在每个leading entry下的都是0

REF（Reduced Echelon Form）

最简阶梯矩阵
1.所有的leading entry都是1
2.leading entry所在行除自己是1，其他都是0
举例：

row reduction(Gaussian elimination)

行化简又称高斯消元法
将矩阵化为阶梯矩阵的
举例：

kernel(null-space)

对于一个m*n矩阵A，一个向量x，Ax=0的解被称为A的kernel（记为ker(A)），或是A的null_space（记为Null(A)）
举例：

row equivalent

线性相关
对于两个m*n矩阵A，B,如果A能通过行变换变成B，则A和B线性相关
如果A和B线性相关，Ax=0和Bx=0有相同的解，即ker(A)=ker(B)

range

对于一个m*n矩阵A，Range（A)={Ax:x is in R}
举例：

Linear function

线性函数
一个函数L，Rn->Rm（n维空间->m维空间）被称为线性，如果对任意的x,y属于Rn有
L(cx+dy)=cL(x)+dL(y)

subspace

子空间
一个n维向量子集V如果满足，对于任意x,y属于V都有cx+dy属于V，则V被称为子空间
1.一个mn矩阵的kernal是n维空间的子空间
2.一个mn矩阵的range是m维空间的子空间
举例：

Orthognal complement

正交补空间
对于一个子空间V，如果有一个子空间V满足其中所有向量与V中向量相乘都为0，则V被称为V的正交补空间
举例：

span

对于k个向量v1,v2,v3,……vk，它们的线性组合（linear combination）a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk的所有可能被称为这k个向量的span
举例：

linear independent

对于k个向量v1,v2,v3,……vk，a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk=0，
a1,a2,a3……,ak没有非零解，则这k个向量称为线性无关，否则称为线性相关（linear dependent）
以下陈述等价：

basis

基
如果对于V中的任意向量，都可以用a1v1+a2v2+……+akvk唯一表示，则称v1,v2,v3,……vk为V的基（basis）
举例：

size of basis

基中的向量的个数
一个子空间的不同basis的向量个数是相同的

dimension of a subspace

子空间的维度
对于一个子空间V，定义维度（dimension）为基中向量的个数（size of basis），写作dim(V)
举例：

rank

秩
最简行阶梯矩阵中非零行的个数
对于一个m*n矩阵，
rank(A)+dim(ker(A))=n
rank(A)<=min(m,n)
ker(A)=0当且仅当rank(A)=n
k个向量线性无关，当[v1|v2|……|vk]的rank为k