快速沃尔什变换(FWT)

按位或卷积

按位与卷积

按位异或卷积

一点性质/优化

快速莫比乌斯变换(FMT)

按位或FMT

按位与FMT

两者比较

快速沃尔什变换(FWT)

顾名思义，这是一种对数组的变换，而且和FFT是基本思想相同，即求 $C=AoB$ ，“o”是一种卷积，把A、B变换为A‘、B’，使满足 $C'_i=A'_i*B'_i$ ，最后把C‘转换回C。

沃尔什变换主要有三种：

按位或卷积

$C_x=\sum_{i\bigcup j=x}A_i\cdot B_j$ ，（数组长度n默认为2的次幂）求C数组。

“浅谈”，我们就直接上公式好了。

该变换为 $FWT(A)_i=\sum_{j\bigcap i=j}A_j$ ， $\bigcap$ 是按位与，显然有：

$FWT(C)_y=\sum_{x\bigcap y=x}C_x$

$=\sum_{x\bigcap y=x}\sum_{i\bigcup j=x}A_i \cdot B_j$

$=\sum_{i\bigcap y=i}A_i \cdot \sum_{j\bigcap y=j}B_j$

$=FWT(A)_y\cdot FWT(B)_y$

根据定义知道，暴力求该变换是 $O(n^2)$ 的，怎么优化呢？

对于一个数组A，其下标为(0~n-1)， $n=2^m$ ，那么数组前一半的下标为(二进制) $0XX...$ ，后一半下标为 $1XX...$ ,那么对于 $FWT(A)_i$ 和 $FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}$ （ $_{i<\frac{n}{2}}$ ），假设前者是所有下标为 $0YY...$ 的数的和，那么后者一定是下标为 $0YY...$ 、 $1YY...$ 的数的和（ $XX...$ 、 $YY...$ 分别代指若干种01序列），

规范地说就是，把A数组割裂为前后两半，(0~n/2-1)部分构成数组A0，(n/2~n-1)部分构成数组A1（在A1中的下标变为(0~n/2-1)），那么 $FWT(A)_i=FWT(A0)_i$ （ $_{i<\frac{n}{2}}$ ），

$FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}=\sum_{j<\frac{n}{2},j\bigcap i=j}(A_j+A_{j+\frac{n}{2}})=FWT(A0)_i+FWT(A1)_i$ （ $_{i<\frac{n}{2}}$ ），

所以我们得到了该算法的核心：求出 $FWT(A0)$ 和 $FWT(A1)$ ，然后遍历求出 $FWT(A)_i$ 和 $FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}$ ，进而求得 $FWT(A)$ ，

这是递推打法，类比FFT和NTT：

inline void FWTOR(int*a,int n){for(int k=2;k<=n;k<<=1)//从下往上合并for(int i=0;i<n;i+=k)for(int j=i;j<i+(k>>1);j++)a[j+(k>>1)]=(a[j+(k>>1)]+a[j])%MOD;//FWT(A)(i+n/2)=FWT(A0)(i)+FWT(A1)(i)//FWT(A)(i)=FWT(A0)(i),此时直接不管它
}

简要解释一下，原本递归到最底层后会有n个长度为1的数组，而长度为1的数组的FWT就是它本身，所以由下往上合并为长度为2、长度为4、一直到长度为n的数组，就是要求的FWT(A)。

那么逆变换怎么搞呢？

考虑倒着做整个过程， $FWT(A)_i=FWT(A0)_i$ ， $FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}=FWT(A0)_i+FWT(A1)_i$ （ $_{i<\frac{n}{2}}$ ），

所以 $FWT(A0)_i=FWT(A)_i$ ， $FWT(A1)_i=FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}-FWT(A)_i$ ，然后从上往下把它倒着转换回去：

inline void IFWTOR(int*a,int n){for(int k=n;k>1;k>>=1)//从上往下倒推for(int i=0;i<n;i+=k)for(int j=i;j<i+(k>>1);j++)a[j+(k>>1)]=(a[j+(k>>1)]-a[j]+MOD)%MOD;
}

按位与卷积

$C_x=\sum_{i\bigcap j=x}A_i\cdot B_j$ ，求C数组。

和按位或很相似，相信读者们自己就能轻松推导，

该变换为： $FWT(A)_i=\sum_{j\bigcap i=i}A_j$ ，同样的推导：

$FWT(C)_y=\sum_{x\bigcap y=y}C_x$

$=\sum_{x\bigcap y=y}\sum_{i\bigcap j=x}A_i \cdot B_j$

$=\sum_{i\bigcap y=y}A_i \cdot \sum_{j\bigcap y=y}B_j$

$=FWT(A)_y\cdot FWT(B)_y$

同样地，根据该变换的性质，把A分裂为A0和A1，有 $FWT(A)_i=FWT(A0)_i+FWT(A1)_i$ ， $FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}=FWT(A1)_i$ （ $_{i<\frac{n}{2}}$ ），

倒着做的时候： $FWT(A0)_i=FWT(A)_i-FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}$ ， $FWT(A1)_i=FWT(A)_{i+\frac{n}{2}}$

inline void FWTAND(int*a,int n){for(int k=2;k<=n;k<<=1)for(int i=0;i<n;i+=k)for(int j=i;j<i+(k>>1);j++)a[j]=(a[j]+a[j+(k>>1)])%MOD;
}
inline void IFWTAND(int*a,int n){for(int k=n;k>1;k>>=1)for(int i=0;i<n;i+=k)for(int j=i;j<i+(k>>1);j++)a[j]=(a[j]-a[j+(k>>1)]+MOD)%MOD;
}

按位异或卷积

$C_x=\sum_{i\bigoplus j=x}A_i\cdot B_j$ （ $\bigoplus$ 是按位异或），求C数组。

这个就不好搞了，一般人很难想出来，但是沃尔什大佬不一样，他想出了如下变换：

$FWT(A)_i=\sum_{d(j\bigcap i)=0}A_j-\sum_{d(j\bigcap i)=1}A_j$ ，其中 $d(x)$ 表示x的二进制中1的个数取模2，也就是1的个数的奇偶性，

这个公式要倒着证：

$FWT(A)_i\cdot FWT(B)_i=(\sum_{d(j\bigcap i)=0}A_j-\sum_{d(j\bigcap i)=1}A_j)\cdot (\sum_{d(j\bigcap i)=0}B_j-\sum_{d(j\bigcap i)=1}B_j)$

观察上式，发现结构是00+11-01-10，而0^0=1^1=0，0^1=1^0=1；

然后有个结论： $d((x\bigoplus y)\bigcap i)=d(x\bigcap i)\bigoplus d(y\bigcap i)$

所以原式可以继续变换：

$=\sum_{d(x\bigoplus y\bigcap i)=0}A_x\cdot B_y-\sum_{d(x\bigoplus y\bigcap i)=1}A_x\cdot B_y$

$=\sum_{d(j\bigcap i)=0}C_j-\sum_{d(j\bigcap i)=1}C_j=FWT(C)_i$

至此，我们发现它满足了沃尔什变换的性质

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