前言

在学过FFT/NTT后，我们已经可以解决许多多项式问题了，而出题人觉得还不够

所以我们接着来处理更复杂的多项式卷积------快速沃尔什变换和快速莫比乌斯变换

很多时候，人们把这两个变换同称为一个快速沃尔什变换，但实际上它们是分开的

快速莫比乌斯变换是来解决 与卷积、或卷积（也可认为是交卷积、并卷积），

note: 下文中我们的 ∗*∗ 不是卷积符号，仅仅是乘法

我们重新来看多项式的运算的定义：
C=A+B,C[k]=∑i=j=kA[i]+B[j]C = A + B,C[k]=\sum_{i=j=k}A[i]+B[j]C=A+B,C[k]=i=j=k∑A[i]+B[j] C=A×B,C[k]=∑i+j=kA[i]B[j]C = A \times B,C[k]=\sum_{i+j=k}A[i]B[j]C=A×B,C[k]=i+j=k∑A[i]B[j] C=A∣B,C[k]=∑i∣j=kA[i]B[j]C = A \mid B,C[k]=\sum_{i|j=k}A[i]B[j]C=A∣B,C[k]=i∣j=k∑A[i]B[j] C=A&B,C[k]=∑i&j=kA[i]B[j]C = A \And B,C[k]=\sum_{i \And j=k}A[i]B[j]C=A&B,C[k]=i&j=k∑A[i]B[j] C=A⊗B,C[k]=∑i⊗j=kA[i]B[j]C = A \otimes B,C[k]=\sum_{i \otimes j=k}A[i]B[j]C=A⊗B,C[k]=i⊗j=k∑A[i]B[j]
此时，我们也看的出来，多项式的算术运算和位运算还是有蛮大的区别
加法运算可线性得出，乘法运算则利用FFT/NTT亚线性得出
算数运算和位运算则是两条思路，一个寻找去寻找单位元，一个去寻找反演不变性

在位运算中，与运算、或运算属于FMT的范畴
因为本质上它们来源于集合上的莫比乌斯反演，与对应交，或对应并
而出题人最长出的异或则来源于快速沃尔什变换，其实也可以对应集合差的和

当然，这两个变换自然地借鉴了FFT/NTT的思想，即寻找一种变换和新运算使得多项式可以快速运算

FMT中，我们以或运算为例，寻求一种变换FMT(S)FMT(S)FMT(S)和新运算U⋅VU \cdot VU⋅V，使得FMT(C)=FMT(A∣B)=FMT(A)⋅FMT(B)FMT(C)=FMT(A|B)=FMT(A)\cdot FMT(B)FMT(C)=FMT(A∣B)=FMT(A)⋅FMT(B)自然地，U⋅VU\cdot VU⋅V这个运算就让它是对应项相乘这个O(n)O(n)O(n)运算好了，现在的问题就找变换了，使得：FMT(∑k∑i∣j=kA[i]B[j])=FMT(∑kA[k])FMT(∑kB[k])FMT(\sum_k\sum_{i|j=k}A[i]B[j])=FMT(\sum_kA[k])FMT(\sum_kB[k])FMT(k∑i∣j=k∑A[i]B[j])=FMT(k∑A[k])FMT(k∑B[k])此时，我们想到了集合上的莫比乌斯反演相关性质，受此启发∑l⊂k∑i∪j=lA[i]B[j]=∑(i∪j)⊂kA[i]B[j]=∑i⊂kA[i]∑j⊂kB[j]\sum_{l\subset k}\sum_{i \cup j=l}A[i]B[j]=\sum_{(i\cup j)\sub k}A[i]B[j]=\sum_{i\sub k}A[i]\sum_{j\sub k}B[j]l⊂k∑i∪j=l∑A[i]B[j]=(i∪j)⊂k∑A[i]B[j]=i⊂k∑A[i]j⊂k∑B[j]我们来定义FMTFMTFMT为子集和： FMT(A)[k]=∑i⊂kA[i]FMT(A)[k]=\sum_{i\sub k}A[i]FMT(A)[k]=i⊂k∑A[i]或者说：FMT(A)[k]=∑i∣k=kA[i]FMT(A)[k]=\sum_{i|k=k}A[i]FMT(A)[k]=i∣k=k∑A[i]这样我们就可以解决其变换后的快速运算了，那进行变换本身的时间复杂度如何呢，

我们找找它的性质，发现：FMT(<ϕ,U>)=<FMT(ϕ),FMT(ϕ+U)>FMT(<\phi,U>)=<FMT(\phi),FMT(\phi+U)>FMT(<ϕ,U>)=<FMT(ϕ),FMT(ϕ+U)> FMT(<A0,A1>)=<FMT(A0),FMT(A0+A1)>FMT(<A_0,A_1>)=<FMT(A_0),FMT(A_0+A_1)>FMT(<A0,A1>)=<FMT(A0),FMT(A0+A1)>其中A0A_0A0代表数位为0，A1A_1A1代表数位为1，很好，可以递归下去

and运算也有相似的性质，此处的变换不再是子集和，而是超集和FMTor(<A0,A1>)=<FMTor(A0),FMTor(A0+A1)>FMTor(<A_0,A_1>)=<FMTor(A_0),FMTor(A_0+A_1)>FMTor(<A0,A1>)=<FMTor(A0),FMTor(A0+A1)> FMTand(<A0,A1>)=<FMTand(A0+A1),FMTand(A1)>FMTand(<A_0,A_1>)=<FMTand(A_0+A_1),FMTand(A_1)>FMTand(<A0,A1>)=<FMTand(A0+A1),FMTand(A1)>
然后，我们来到FWT，它要解决异或问题，此时它似乎不再有上述性质了，我们需要另寻思路，
这时，我们可以考虑广义的模2，这样只需奇偶位对应即可，实际上两个递推左右交换也是可以的FWTxor(<A0,A1>)=<FWTxor(A0+A1),FWTxor(A0−A1)>FWTxor(<A_0,A_1>)=<FWTxor(A_0+A_1),FWTxor(A_0-A_1)>FWTxor(<A0,A1>)=<FWTxor(A0+A1),FWTxor(A0−A1)>

一、例题

例题：洛谷 P4717

二、思路与代码

1.思路

很板子的一道板子题，直接上模板

2.代码

代码如下：

#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1e7 + 9;
int n, N;
int a[maxn], b[maxn], ans[maxn];
int tempa[maxn], tempb[maxn];
int quickpow(int a, int n) {int ans = 1;while (n) {if (n & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}
int inv2 = quickpow(2, mod - 2);
// int inv2 = (mod + 1) / 2;
void FMTor(int a[], int inv) {for (int i = 1; i < N; i <<= 1) {for (int j = 0, p = i << 1; j < N; j += p)for (int k = 0; k < i; k++)a[i + j + k] = (a[i + j + k] + inv * a[j + k] + mod) % mod;}
}
void FMTand(int a[], int inv) {for (int i = 1; i < N; i <<= 1)for (int j = 0, p = i << 1; j < N; j += p)for (int k = 0; k < i; k++)a[j + k] = (a[j + k] + inv * a[i + j + k] + mod) % mod;
}
void FWTxor(int a[], int inv) {for (int i = 1; i < N; i <<= 1)for (int j = 0, p = i << 1; j < N; j += p)for (int k = 0; k < i; k++) {int x = a[j + k], y = a[i + j + k];a[j + k] = (x + y) % mod, a[i + j + k] = (x - y + mod) % mod;if (inv == -1) {a[j + k] *= inv2, a[i + j + k] *= inv2;a[j + k] %= mod, a[i + j + k] %= mod;}}
}
signed main() {//   freopen("in.txt", "r", stdin);//   freopen("out.txt", "w", stdout);scanf("%d", &n);N = 1 << n;for (int i = 0; i < N; i++) scanf("%d", &a[i]);for (int i = 0; i < N; i++) scanf("%d", &b[i]);for (int i = 0; i < N; i++) tempa[i] = a[i], tempb[i] = b[i];FMTor(tempa, 1), FMTor(tempb, 1);for (int i = 0; i < N; i++) ans[i] = tempa[i] * tempb[i] % mod;FMTor(ans, -1);for (int i = 0; i < N; i++) printf("%d ", ans[i]);printf("\n");for (int i = 0; i < N; i++) tempa[i] = a[i], tempb[i] = b[i];FMTand(tempa, 1), FMTand(tempb, 1);for (int i = 0; i < N; i++) ans[i] = tempa[i] * tempb[i] % mod;FMTand(ans, -1);for (int i = 0; i < N; i++) printf("%d ", ans[i]);printf("\n");for (int i = 0; i < N; i++) tempa[i] = a[i], tempb[i] = b[i];FWTxor(tempa, 1), FWTxor(tempb, 1);for (int i = 0; i < N; i++) ans[i] = tempa[i] * tempb[i] % mod;FWTxor(ans, -1);for (int i = 0; i < N; i++) printf("%d ", ans[i]);printf("\n");return 0;
}

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FWT / FMT 快速沃尔什/莫比乌斯变换 P4717

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2.代码

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