光线折射公式推导：Snell‘s Law

光线折射公式推导：Snell’s Law

设入射光 i\mathbf{i}i 和折射光 t\mathbf{t}t 均为单位向量，由Snell’s law可知 ηisin⁡θi=ηtsin⁡θt\eta_i \sin \theta_i = \eta_t \sin \theta_tηisinθi=ηtsinθt 。

其中 ηi,ηt\eta_i,\eta_tηi,ηt 为反射系数（typically air = 1.0, glass = 1.3–1.7, diamond = 2.4）。

因为 sin⁡θi=∣i∥∣∣i∣,sin⁡θt=∣t∥∣∣t∣\sin\theta_i=\cfrac{|\mathbf{i}_{\parallel}|}{|\mathbf{i}|},\ \sin\theta_t=\cfrac{|\mathbf{t}_{\parallel}|}{|\mathbf{t}|}sinθi=∣i∣∣i∥∣, sinθt=∣t∣∣t∥∣ ，故：
ηi∣i∥∣∣i∣=ηt∣t∥∣∣t∣ηi∣i∥∣=ηt∣t∥∣\begin{matrix} \eta_i \cfrac{|\mathbf{i}_{\parallel}|}{|\mathbf{i}|} = \eta_t \cfrac{|\mathbf{t}_{\parallel}|}{|\mathbf{t}|} \\ \eta_i |\mathbf{i}_{\parallel}| = \eta_t |\mathbf{t}_{\parallel}| \\ \end{matrix} ηi∣i∣∣i∥∣=ηt∣t∣∣t∥∣ηi∣i∥∣=ηt∣t∥∣
又因 i\mathbf{i}i 和 t\mathbf{t}t 平行且方向相同：
ηi⋅i∥=ηt⋅t∥t∥=ηiηt⋅i∥=ηiηt(i+cos⁡θi⋅n)\begin{matrix} \eta_i \cdot \mathbf{i}_{\parallel} &=& \eta_t \cdot \mathbf{t}_{\parallel}& \\ \mathbf{t}_{\parallel} &=& \cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \mathbf{i}_{\parallel} \\ &=& \cfrac{\eta_i}{\eta_t} (\mathbf{i}+\cos \theta_i\cdot \mathbf{n} ) \end{matrix} ηi⋅i∥t∥===ηt⋅t∥ηtηi⋅i∥ηtηi(i+cosθi⋅n)
其中 i∥=i⋅n∣i∣∣n∣n=cos⁡θi⋅n\mathbf{i}_{\parallel}=\cfrac{\mathbf{i}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{i}| |\mathbf{n}|}\mathbf{n}=\cos \theta_i \cdot \mathbf{n}i∥=∣i∣∣n∣i⋅nn=cosθi⋅n.

又因 t=t⊥+t∥\mathbf{t}=\mathbf{t}_{\perp}+\mathbf{t}_{\parallel}t=t⊥+t∥ 且 ∣t∣2=∣t⊥∣2+∣t∥∣2|\mathbf{t}|^2=|\mathbf{t}_{\perp}|^2 + |\mathbf{t}_{\parallel}|^2∣t∣2=∣t⊥∣2+∣t∥∣2 ：
∣t⊥∣2=∣t∣2−∣t∥∣2∣t⊥∣=1−∣t∥∣2t⊥=−1−∣t∥∣2⋅n\begin{matrix} |\mathbf{t}_{\perp}|^2 &=& |\mathbf{t}|^2-|\mathbf{t}_{\parallel}|^2 \\ |\mathbf{t}_{\perp}| &=& \sqrt {1-|\mathbf{t}_{\parallel}|^2} \\ \mathbf{t}_{\perp} &=& -\sqrt {1-|\mathbf{t}_{\parallel}|^2}\cdot \mathbf{n} \\ \end{matrix} ∣t⊥∣2∣t⊥∣t⊥===∣t∣2−∣t∥∣21−∣t∥∣2−1−∣t∥∣2⋅n
从而：
t=t∥+t⊥\mathbf{t}=\mathbf{t}_{\parallel}+\mathbf{t}_{\perp} t=t∥+t⊥

// r_in 为射入物体的光线
vec3 refract(const vec3& r_in, const vec3& outward_normal, double etai_over_etat) {double cos_thetai = dot(-r_in, outward_normal);vec3 r_out_parallel =  etai_over_etat * (r_in + cos_thetai * outward_normal);vec3 r_out_perp = -sqrt(1.0 - r_out_parallel.length_squared()) * outward_normal;return r_out_perp + r_out_parallel;
}

也可进一步化简：
t=t∥+t⊥=ηiηt⋅(i+cos⁡θi⋅n)−1−∣i∥∣2⋅n=ηiηt⋅(i+cos⁡θi⋅n)−1−sin⁡2θt⋅n=ηiηt⋅i+(ηiηtcos⁡θi−1−sin⁡2θt)⋅n\begin{matrix} \mathbf{t} &=&\mathbf{t}_{\parallel}+\mathbf{t}_{\perp} \\ &=&\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot (\mathbf{i}+\cos \theta_i\cdot \mathbf{n}) -\sqrt {1-|\mathbf{i}_{\parallel}|^2}\cdot \mathbf{n} \\ &=&\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot (\mathbf{i}+\cos \theta_i\cdot \mathbf{n}) -\sqrt {1-\sin ^2\theta_t}\cdot \mathbf{n} \\ &=&\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \mathbf{i}+\left (\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cos \theta_i -\sqrt {1-\sin ^2\theta_t} \right) \cdot \mathbf{n} \end{matrix} t====t∥+t⊥ηtηi⋅(i+cosθi⋅n)−1−∣i∥∣2⋅nηtηi⋅(i+cosθi⋅n)−1−sin2θt⋅nηtηi⋅i+(ηtηicosθi−1−sin2θt)⋅n
由Snell’s law公式可得 sin⁡θt=ηiηt⋅sin⁡θi\sin \theta_t=\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \sin \theta_isinθt=ηtηi⋅sinθi，
t=ηiηt⋅i+(ηiηtcos⁡θi−1−(ηiηt)2sin⁡2θi)⋅n=ηiηt⋅i+(ηiηtcos⁡θi−1−(ηiηt)2(1−cos⁡2θi))⋅n\begin{matrix} \mathbf{t} &=&\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \mathbf{i}+ \left ( \cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cos \theta_i -\sqrt {1-(\cfrac{\eta_i}{\eta_t})^2\sin^2 \theta_i}\ \right ) \cdot \mathbf{n} \\ &=&\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \mathbf{i}+ \left (\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cos \theta_i -\sqrt {1-(\cfrac{\eta_i}{\eta_t})^2(1-\cos^2 \theta_i)}\right ) \cdot \mathbf{n} \\ \end{matrix} t==ηtηi⋅i+⎝⎛ηtηicosθi−1−(ηtηi)2sin2θi ⎠⎞⋅nηtηi⋅i+⎝⎛ηtηicosθi−1−(ηtηi)2(1−cos2θi)⎠⎞⋅n
其中 cos⁡θi=i⋅n∣i∣∣n∣=i⋅n\cos\theta_i=\cfrac{\mathbf{i}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{i}| |\mathbf{n}|}=\mathbf{i}\cdot \mathbf{n}cosθi=∣i∣∣n∣i⋅n=i⋅n 。

全反射现象 Total internal reflection

对于Snell’s law 的公式 sin⁡θt=ηiηt⋅sin⁡θi\sin \theta_t=\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \sin \theta_isinθt=ηtηi⋅sinθi ，当空气中的反射率大于物体内的反射率的时候，有可能会出现 ηiηt⋅sin⁡θi>1\cfrac{\eta_i}{\eta_t} \cdot \sin \theta_i>1ηtηi⋅sinθi>1 的情况。

但是 sin⁡θt\sin\theta_tsinθt 的值一定是小于1的，故等式不可能成立。这个时候光线应该被反射，而不是折射。