Sigma Function

Sigma Function ：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=109329#problem/C 密码：nefu

题目大意：已知Sigma函数表示的是该数的所有因子的和，要求出从1到n，Sigma函数的值为偶数的数的个数。

PC-大致分析：由于n比较大，从1到n遍历肯定会超时，而且对于每一个i都要进行判断其Sigma函数是否为偶数，但是现在能处理的就是先尝试着计算一下当n的值比较小的时候的Sigma函数为偶数的情况，具体实现就是先筛一遍素数（由于n为 10^12 ，所以筛素数的范围在10^6 即可），然后再对n进行素因子分解，对于每个因子，Sigma函数中连乘的每一项如果出现一个偶数，那么整个Sigma函数就是偶数（根据偶数X偶数=偶数，奇数X偶数=偶数，奇数X奇数=奇数）。当然这个算法会TLE ，但是会找到一些规律。

代码实现如下：（TLE代码）

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>using namespace std;
const int MAXN=1000100;
const int MAXN1=1000000;
bool isprime[MAXN];
int prime[MAXN];void getprime()
{int nprime=0;for(long long i=2;i<MAXN1;i++){if(!isprime[i]){prime[nprime++]=i;for(long long j=i*i;j<MAXN1;j+=i){isprime[i]=true;}}}
}int factor[100][2];
int cnt;
int getfactor(long long n)
{long long tmp=n;cnt=0;memset(factor,0,sizeof(factor));for(int i=0;prime[i]*prime[i]<=tmp;i++){factor[cnt][1]=0;if(tmp%prime[i]==0){factor[cnt][0]=prime[i];while(tmp%prime[i]==0){factor[cnt][1]++;tmp/=prime[i];}cnt++;}}if(tmp!=1){factor[cnt][0]=tmp;factor[cnt++][1]=1;}return cnt;
}int main()  //打表
{int t;long long sum;long long n;int casenum=0;getprime();scanf("%d",&t);while(t--){sum=0;scanf("%lld",&n);for(long long i=2;i<=n;i++){int k=getfactor(i);int flag=0;for(int j=0;j<k;j++){if(((int)(pow(factor[j][0],(factor[j][1]+1))-1)/(factor[j][0]-1))%2==0){flag=1;break;}}if(flag==1){cout<<i<<"sigma是偶数"<<endl;sum++;}}printf("Case %d: %lld\n",++casenum,sum);}return 0;
}

代码输出如下：

4
100
3sigma是偶数
5sigma是偶数
6sigma是偶数
7sigma是偶数
10sigma是偶数
11sigma是偶数
12sigma是偶数
13sigma是偶数
14sigma是偶数
15sigma是偶数
17sigma是偶数
19sigma是偶数
20sigma是偶数
21sigma是偶数
22sigma是偶数
23sigma是偶数
24sigma是偶数
26sigma是偶数
27sigma是偶数
28sigma是偶数
29sigma是偶数
30sigma是偶数
31sigma是偶数
33sigma是偶数
34sigma是偶数
35sigma是偶数
37sigma是偶数
38sigma是偶数
39sigma是偶数
40sigma是偶数
41sigma是偶数
42sigma是偶数
43sigma是偶数
44sigma是偶数
45sigma是偶数
46sigma是偶数
47sigma是偶数
48sigma是偶数
51sigma是偶数
52sigma是偶数
53sigma是偶数
54sigma是偶数
55sigma是偶数
56sigma是偶数
57sigma是偶数
58sigma是偶数
59sigma是偶数
60sigma是偶数
61sigma是偶数
62sigma是偶数
63sigma是偶数
65sigma是偶数
66sigma是偶数
67sigma是偶数
68sigma是偶数
69sigma是偶数
70sigma是偶数
71sigma是偶数
73sigma是偶数
74sigma是偶数
75sigma是偶数
76sigma是偶数
77sigma是偶数
78sigma是偶数
79sigma是偶数
80sigma是偶数
82sigma是偶数
83sigma是偶数
84sigma是偶数
85sigma是偶数
86sigma是偶数
87sigma是偶数
88sigma是偶数
89sigma是偶数
90sigma是偶数
91sigma是偶数
92sigma是偶数
93sigma是偶数
94sigma是偶数
95sigma是偶数
96sigma是偶数
97sigma是偶数
99sigma是偶数
Case 1: 83

经过总结和归纳，得到规律：Sigma函数为偶数的个数比较多，但是为奇数的个数比较少，而且只有x^2 , 2*x^2 , 2^x 时，其Sigma函数才为奇数，这样我们可以用去掉奇数的方法，来求出偶数的个数。
具体去掉这三种情况的方法要考虑用到容斥原理，因为两者之间可能会有重复的。

设n中有t1个x^2，则t1=sqrt(n);（自动向下取整了）

设n中有t2个2*x^2，则t2=sqrt(n/2); （自动向下取整了） //t1与t2之间不会有重复的元素

设n中有t3个2^x，则，即 x*ln(2)<=ln(n)，则t3=ln(n)/ln(2.0);

设n中有t4个x^2=2*2^x ，则重复的值有2^1，2^3，2^5，……即指数为奇数的都会重复，则t4的个数和t3有关，即 t4=(t3+1)/2;

设n中有t5个x^2=2^x ，则重复的值有2^0，2^2，2^4，……即指数为偶数的都会重复，则t5的个数和t3也有关，即t5=t3/2;

综上，所有偶数的个数即为：n-t1-t2-t3+t4+t5;

代码实现如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>using namespace std;int main()
{int T;int casenum;casenum=0;long long n;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(n==1){printf("Case %d: ",++casenum);printf("0\n");}else{long long t1=sqrt(n*1.0);long long t2=sqrt(n*1.0/2);long long t3=log(n*1.0)/log(2.0);long long t4=(log(n*1.0)/log(2)+1)/2;long long t5=t3/2;//long long t5=log(t1*1.0)/log(2.0);long long sum=n-t1-t2-t3+t4+t5;printf("Case %d: %lld\n",++casenum,sum);}}return 0;
}

另一种方法：

徒手解释：

代码实现：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>using namespace std;long long ds[100];
const long long MAXN=1000000000005;
int ff()
{int cnt=1;ds[0]=1;while(1){ds[cnt]=ds[cnt-1]*2;if(ds[cnt]>MAXN)break;cnt++;}return cnt;
}
int main()
{int T;int casenum=0;long long n;scanf("%d",&T);int k=ff();while(T--){scanf("%lld",&n);long long sum=0;for(int i=0;i<k;i++){if(ds[i]>n) break;sum+=((long long)sqrt((n/ds[i])+0.5)+1)/2;}printf("Case %d: %lld\n",++casenum,n-sum);}return 0;
}

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