P5692 手牵手走向明天

有一个长度为 n n n 的序列 a a a，有 m m m 次操作。

给定 l , r , x , y l,r,x,y l,r,x,y，将 a l , a l + 1 , a l + 2 , ⋯ , a r a_l,a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_r al,al+1,al+2,⋯,ar 中等于 x x x 的数全部改成 y y y。
给定 l , r , x , y l,r,x,y l,r,x,y，找到 i , j i,j i,j 满足 i , j ∈ [ l , r ] i,j\in[l,r] i,j∈[l,r] 且 a i = x , a j = y a_i=x,a_j=y ai=x,aj=y，并要求 ∣ i − j ∣ |i-j| ∣i−j∣ 最小，求这个最小值，无解输出 -1。

1 ≤ n , m , a i ≤ 1 0 5 1 \leq n,m,a_i\leq 10^5 1≤n,m,ai≤105，时限 1.50 s 1.50\text{s} 1.50s，空限 512 MB 512\text{MB} 512MB。

sol

「弑尽破净第四分块」加强版。

无难度评分。

相较于 P5397 天降之物，这题是对区间修改和查询，所以我们不能再用原先的根号分治。

考虑序列分块。

对于答案在一个块内的情况显然可以预处理。

但这里如果是开一个 d i s [ i ] [ j ] [ k ] dis[i][j][k] dis[i][j][k] 的三维数组的话空间是 n 2 n n^2\sqrt n n2n 级别的。

注意到每个块内只有 n \sqrt n n 个数，所以可以使用类似于离散化的技巧，对于每个数，把它映射到一个标号，这样空间就是 n n n\sqrt n nn 开得下了，可 O ( 1 ) \mathcal O(1) O(1) 获取⼀个数在某个块中的标号， d i s [ i ] [ j ] [ k ] dis[i][j][k] dis[i][j][k] 的定义为第 i i i 个块内，数 j j j 与离散化后的 k k k 的最短距离。

如果不在一个块内的话，由于我们要求距离最小，那么每个块中可能成为答案的，只有这个数第一次出现的位置和最后一次出现的位置，维护每个块内每个数第一次和最后一次出现的位置，然后扫一遍，维护 x x x 和 y y y 各自最后一次出现的位置即可，单次时间复杂度 O ( n ) \mathcal O(\sqrt n) O(n )。

对于散块的查询直接扫过去，单次时间复杂度为 O ( n ) \mathcal O(\sqrt n) O(n )。

再看修改，枚举每一个块，假设一个块中最开始有 m m m 个颜色，那么修改 x x x 为 y y y：

无 x x x：跳过。
有 x x x 无 y y y：改标号即可。
有 x x x 有 y y y：对于 x , y x,y x,y 以外的 m − 2 m-2 m−2 个颜色，每一个颜色都需要进行 O ( 1 ) \mathcal O(1) O(1) 次修改，然后合并 x , y x,y x,y 的颜色信息也是 O ( m ) \mathcal O(m) O(m) 的，总时间复杂度是 O ( m ) O(m) O(m)，并且每次操作完 m m m 减少一。

考虑怎么更新 d i s dis dis 数组的信息，容易想到，枚举每个其他颜色，取 min ⁡ \min min 即可。

那么一个块最多产生多少次操作？

因为 m m m 最大为 n \sqrt{n} n ，所以一个块中的操作次数其实是 O ( n ) \mathcal O(n) O(n) 级别的，所以总操作次数就是 O ( n n ) O(n\sqrt{n}) O(nn )。

最后看散块修改，最大的问题在于关于 y y y 的距离怎么修改，因为做的是 min ⁡ \min min，直接修改似乎不好办。

考虑到，先用 O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n ) 的代价将这一块的 a i a_i ai 的实际值求出来，然后对于 y y y 的相关信息直接求一遍， x x x 的相关信息也直接求一遍，这一部分的复杂度是 O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n ) 的。

需要注意的是，散块的修改可能增加一个颜色，但是散块最多只会增加 n \sqrt n n 个颜色，所以时间复杂度还是对的。

所以，总时间复杂度为 O ( ( n + m ) n ) \mathcal O((n+m)\sqrt n) O((n+m)n )，总空间复杂度为 O ( n n ) \mathcal O(n \sqrt n) O(nn )。

2.76s / 398.59MB / 6.84KB C++98 O2 \text{2.76s / 398.59MB / 6.84KB C++98 O2} 2.76s / 398.59MB / 6.84KB C++98 O2。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>namespace Fread
{const int SIZE = 1 << 21;char buf[SIZE], *S, *T;inline char getchar(){if (S == T){T = (S = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);if (S == T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite
{const int SIZE = 1 << 21;char buf[SIZE], *S = buf, *T = buf + SIZE;inline void flush(){fwrite(buf, 1, S - buf, stdout);S = buf;}inline void putchar(char c){*S++ = c;if (S == T)flush();}struct NTR{~NTR(){flush();}} ztr;
}#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#define putchar Fwrite::putchar
#endifinline int read()
{int x = 0, f = 1;char c = getchar();while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-')f = -1;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){x = x * 10 + c - '0';c = getchar();}return x * f;
}inline void write(int x)
{if (x < 0){putchar('-');x = -x;}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}const int N = 1e5 + 3, S = 3e2 + 3, T = 6e2 + 3, inf = 0x3f3f3f3f;int n, m, q, a[N];int sqrtn, bl[N], L[T], R[T];int dis[T][S][S], disl[T][S], disr[T][S], pot[T][N], rpot[T][S], lim[T];int rt[T][S], col[N], fa[N];int find(int x)
{return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}inline int min(int x, int y)
{return x < y ? x : y;
}inline int max(int x, int y)
{return x > y ? x : y;
}inline void chkmin(int &x, int y)
{x = min(x, y);
}inline void chkmax(int &x, int y)
{x = max(x, y);
}inline void swap(int &x, int &y)
{x ^= y ^= x ^= y;
}inline void upd_dis(int t, int _L, int _R, int y)
{int tl = -inf;const int &py = pot[t][y];for (int j = _L; j <= _R; ++j){if (col[find(j)] == y)tl = j;chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]], j - tl);chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py], j - tl);}tl = inf;for (int j = _R; j >= _L; --j){if (col[find(j)] == y)tl = j;chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]], tl - j);chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py], tl - j);}
}inline void init()
{sqrtn = sqrt(n * 2.2 / 5);for (int i = 1, c = 1, j; i <= n; i = j + 1, ++c){L[c] = i, R[c] = j = min(n, i + sqrtn);for (int t = L[c]; t <= R[c]; ++t)bl[t] = c;}m = bl[n];memset(disl, 60, sizeof disl);memset(disr, -61, sizeof disr);memset(dis, 60, sizeof dis);for (int t = 1; t <= m; ++t){for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i){if (!pot[t][a[i]]){rpot[t][pot[t][a[i]] = ++lim[t]] = a[i];col[rt[t][lim[t]] = i] = a[i];}fa[i] = rt[t][pot[t][a[i]]];}for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i)if (fa[i] == i)upd_dis(t, L[t], R[t], a[i]);for (int i = R[t]; i >= L[t]; --i)disl[t][pot[t][a[i]]] = i;for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i)disr[t][pot[t][a[i]]] = i;}
}inline int calc(int l, int r, int x, int y)
{int ans = inf, lx = -inf, ly = -inf;for (int i = l; i <= r; ++i){if (col[find(i)] == x)lx = i, chkmin(ans, i - ly);if (col[find(i)] == y)ly = i, chkmin(ans, i - lx);}return ans;
}inline int query(int l, int r, int x, int y)
{if (x == y){bool flag = 0;if (bl[l] == bl[r])for (int i = l; i <= r; ++i)flag |= col[find(i)] == x;else{for (int i = l; i <= R[bl[l]]; ++i)flag |= col[find(i)] == x;for (int i = L[bl[r]]; i <= r; ++i)flag |= col[find(i)] == x;for (int i = bl[l] + 1; i <= bl[r] - 1; ++i)flag |= pot[i][x] > 0;}return -1 + flag;}if (bl[l] == bl[r])return calc(l, r, x, y);int ans = min(calc(l, R[bl[l]], x, y), calc(L[bl[r]], r, x, y));int lx = disr[bl[l]][pot[bl[l]][x]];if (lx < l)lx = -inf;int ly = disr[bl[l]][pot[bl[l]][y]];if (ly < l)ly = -inf;for (int i = bl[l] + 1; i <= bl[r] - 1; ++i){if (pot[i][x])chkmin(ans, disl[i][pot[i][x]] - ly);if (pot[i][y])chkmin(ans, disl[i][pot[i][y]] - lx);if (pot[i][x])lx = disr[i][pot[i][x]];if (pot[i][y])ly = disr[i][pot[i][y]];chkmin(ans, dis[i][pot[i][x]][pot[i][y]]);}int rx = disl[bl[r]][pot[bl[r]][x]];if (rx > r)rx = inf;int ry = disl[bl[r]][pot[bl[r]][y]];if (ry > r)ry = inf;return min(ans, min(rx - ly, ry - lx));
}inline void deleted(int t, int px)
{const int &lt = lim[t];swap(rt[t][px], rt[t][lt]);for (int i = 1; i <= lt; ++i)swap(dis[t][px][i], dis[t][lt][i]), swap(dis[t][i][px], dis[t][i][lt]);swap(disl[t][px], disl[t][lt]), swap(disr[t][px], disr[t][lt]);swap(rpot[t][px], rpot[t][lt]), swap(pot[t][rpot[t][px]], px), --lim[t];
}inline void cg(int t, int l, int r, int x, int y)
{int ret = 0, &px = pot[t][x], &py = pot[t][y];const int &_L = L[t], &_R = R[t];for (int i = l; i <= r; ++i)ret += col[find(i)] == x;if (!ret)return;if (!py){rpot[t][py = ++lim[t]] = y, disl[t][py] = inf, disr[t][py] = -inf;for (int i = 1; i <= lim[t]; ++i)dis[t][py][i] = dis[t][i][py] = inf;}for (int i = 1; i <= lim[t]; ++i)dis[t][px][i] = dis[t][i][px] = inf;for (int i = _L; i <= _R; ++i){a[i] = col[find(i)];rt[t][pot[t][a[i]]] = 0;}for (int i = l; i <= r; ++i)if (a[i] == x){a[i] = y;--ret;}for (int i = _L; i <= _R; ++i)ret += a[i] == x;if (!ret)deleted(t, px);for (int i = _L; i <= _R; ++i){if (!rt[t][pot[t][a[i]]])col[rt[t][pot[t][a[i]]] = i] = a[i];fa[i] = rt[t][pot[t][a[i]]];}upd_dis(t, _L, _R, y);if (ret)upd_dis(t, _L, _R, x);for (int i = _R; i >= _L; --i)disl[t][pot[t][a[i]]] = i;for (int i = _L; i <= _R; ++i)disr[t][pot[t][a[i]]] = i;if (!ret)px = 0;
}inline void modify(int l, int r, int x, int y)
{if (x == y)return;if (bl[l] == bl[r])return cg(bl[l], l, r, x, y), void();cg(bl[l], l, R[bl[l]], x, y);cg(bl[r], L[bl[r]], r, x, y);for (int t = bl[l] + 1; t <= bl[r] - 1; ++t){int &px = pot[t][x], &py = pot[t][y];if (!px)continue;if (!py){rpot[t][py = px] = y, px = 0, col[rt[t][py]] = y;continue;}fa[rt[t][px]] = rt[t][py], rt[t][px] = 0;for (int i = lim[t]; i >= 1; --i){chkmin(dis[t][py][i], dis[t][px][i]);chkmin(dis[t][i][py], dis[t][i][px]);}chkmin(disl[t][py], disl[t][px]);chkmax(disr[t][py], disr[t][px]);for (int i = lim[t]; i >= 1; --i)dis[t][px][i] = dis[t][i][px] = inf;deleted(t, px), px = 0;}
}int op, l, r, x, y;int main()
{n = read(), q = read();for (int i = 1; i <= n; ++i)a[i] = read();init();for (int i = 1; i <= q; ++i){op = read(), l = read(), r = read(), x = read(), y = read();if (op == 1)modify(l, r, x, y);else{int ans = query(l, r, x, y);write(ans > n ? -1 : ans);putchar('\n');}}
}

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