问题描述

某公司购买长钢条，将其切割为段钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为pi(i = 1, 2,…,单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。下表给出了一个价格表的样例。

示例
输入钢条长度n:
10
输出最大收益和切割方案:
长度为10的钢条的最大收益为:27
对应的最优切割方案的解为：2 2 6

问题分析

定义

C[n]:记录切割长度为n的钢条可得最大总收益
rec[n]:记录长度为n的钢条的最优切割方案

递推公式：

假设有一段长度为10的钢条。如果最多切一次，有两种选择,分别是不切：收益=p[10]，rec[10]=10;或者在i处切：收益=p[i]+p[10-i], rec[10]=i。如果最多切两次，可以先切一次，再将剩余钢条按照最多切一次的条件切割。所以可能存在最优子结构和重叠子问题。

假设钢条长度为 j ,最大收益C[ j ] = max ({ p[ i ]+C[ j−i ] , p[ j ] }) , 1<=i<=j:
如果不切:rec[ j ]=j; 如果在 i 处切：rec[ j ]=i

算法实例

当j=0时，没有收益,C[0]=0
当j=1时，不切，C[1]=1,rec[1]=1，输出最优切割方案{1}
当j=2时，p[1]+C[1]=2，p[2]=5，不切，C[2]=5,rec[2]=2，输出最优切割方案{2}
当j=3时，p[1]+C[2]=6，p[2]+C[1]=6，p[3]=8，不切，C[3]=8,rec[3]=3，输出最优切割方案{3}
当j=4时，p[1]+C[3]=9，p[2]+C[2]=10，p[3]+C[1]=9，p[4]=9，在2处切，C[4]=10,rec[4]=2，rec[2]=2,输出最优切割方案{2，2}
···

伪代码

输入：钢条长度 n；
输出：最大收益 C[n], 钢条切割方案；
//初始化
创建一维数组C[0,…,N] , rec[0,…,n]
C[0] = 0
//动态规划

for j <- 1 to n doq <- -1for <- 1 to j-1 doif q < p[i] + C[j - i] thenq <- p[i] + C[j - i]rec[j] <- iendendC[j] <- q;
end

输出最优方案

while n > 0 doprint rec[n]n <- n-rec[n]
end
# 代码实现

代码实现

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;void CutRod(int p[], int n, int C[], int rec[])
{//int C[n];记录切割长度为n的钢条可得最大总收益//int rec[n];记录长度为n的钢条的最优切割方案int q;//记录收益C[0] = 0;for (int j = 1; j <= n; ++j){q = p[j];rec[j] = j;for (int i = 1; i <= j-1; ++i){if (q < p[i] + C[j - i]){q = p[i] + C[j - i];rec[j] = i;}}C[j] = q;}cout << "长度为" << n << "的钢条的最大收益为:" <<C[n]<< endl;cout << "对应的最优切割方案的解为：";//输出最优切割方案while (n > 0){cout << rec[n] << " ";n = n - rec[n];}
}int main()
{int p[11] = { 0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,24 };int C[11], rec[11], n;cin >> n;CutRod(p, n, C, rec);return 0;
}

该算法的时间复杂度是O(N^2)

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