第十二章：气体动理论

大学物理

第十二章：气体动理论
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- 一、分子运动的基本概念
- - 1.气体的状态参量
  - - （1）压强P
    - （2）体积V
    - （3）温度T
  - 2.平衡态和平衡过程
  - - （1）平衡态
    - （2）平衡过程
  - 3.理想气体的状态方程
- 二、气体分子热运动
- - 1.气体热运动的特征
  - 2.统计规律的特征
  - - （1）统计平均值
    - （3）概率
    - （4）归一化概念
- 三、理想气体的压强公式
- - 1.理想气体的模型
  - - （1）宏观模型
    - （2）微观模型
    - （3）统计假设
    - （4）压强公式
    - （5）理想气体温度公式
- 四、麦克斯韦速率分布定律
- - 1.速率分布
  - 2.麦氏速度分布律
  - - （1）麦氏分布速率函数表达式
  - 3.麦氏速率分布的应用
  - - （1）最可几速率vpv_pvp
    - （2）麦氏速率分布曲线
    - （3）利用f(v)f(v)f(v)求统计平均值
- 五、能量按自由度均分原理
- - 1.自由度：iii
  - - （1）确定一个物体空间位置的独立坐标数iii
    - （2）自由运动质点的自由度
  - 2.能量按自由度均分原理
  - - （1）定理内容
    - （2）一个分子的平均总动能
  - 3.理想气体的内能E
- 六、气体分子的碰撞和平均自由能
- - 1.气体分子的碰撞机制
  - - （1）分子的有效直径
    - （2）分子的平均有效直径dˉ\bar ddˉ
  - 2.平均碰撞频率，平均自由程
  - - （1）碰撞频率Z
    - （2）自由程λ\lambdaλ
    - （3）z和λ\lambdaλ之间的关系
    - 3.平均自由程和碰撞频率的统计规律

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一、分子运动的基本概念

1.气体的状态参量

（1）压强P

①概念：

单位时间内大量气体分子对容器壁单位面积的垂直作用力（平均冲量）

②单位

帕斯卡（N·m−2m^{-2}m−2）

（2）体积V

气体活动的空间

（3）温度T

气体冷热程度的量度

分子热运动剧烈强度的量度
T=（t+273）KT=（t+273）K T=（t+273）K

2.平衡态和平衡过程

（1）平衡态

概念：一个系统，宏观量不随时间变化的状态称为平衡态

特点：热动平衡

宏观量：T,P稳定

微观量：分子热运动永不停息

（2）平衡过程

系统与外界有能量交换，任何一个实际的过程都是状态改变过程，都是非平衡的。

过程进行得非常缓慢并不计摩擦，此过程称为准静态过程，也称为平衡过程

总结：平衡过程是实际过程的近似处理，是理想化过程，优越性在于p-v图上明确地描写状态及其过程。

注意：p-v图上的任何一个点都对应着气体的一个平衡态
一个点：一个平衡态一条曲线：一个平衡过程一个点：一个平衡态\\ 一条曲线：一个平衡过程\\ 一个点：一个平衡态一条曲线：一个平衡过程

3.理想气体的状态方程

（1）理想气体满足三个实验定律

由三个定律总结出来气体的状态方程（克拉帕龙方程）
PV=mMmolRT其中：R=8.31J/mol⋅K:摩尔气体常数1mol气体上升1摄氏度吸收的热PV=\frac{m}{M_{mol}}RT\\ 其中：R=8.31J/mol·K:摩尔气体常数\\1mol气体上升1摄氏度吸收的热\\ PV=MmolmRT其中：R=8.31J/mol⋅K:摩尔气体常数1mol气体上升1摄氏度吸收的热
克拉帕龙方程的另一种形式：
P=nkTk=RN0=1.38×10−23——波兹曼常数其中N0=6.02×1023,n=NVP=nkT\\ k=\frac{R}{N_0}=1.38\times10^{-23}——波兹曼常数\\ 其中N_0=6.02\times10^{23},n=\frac{N}{V}\\ P=nkTk=N0R=1.38×10−23——波兹曼常数其中N0=6.02×1023,n=VN

二、气体分子热运动

1.气体热运动的特征

永恒的运动，频繁的碰撞

（1）运动：气体分子间距大，分子间作用力小，二次碰撞之间的运动可以看做惯性支配下的运动——匀速直线运动

（2）碰撞：扩散很慢——频繁碰撞的结果

（3）对于单个分子
碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律碰撞后：匀速直线运动碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律\\ 碰撞后：匀速直线运动碰撞时：偶然性，无序性，遵守能量守恒和动量守恒——力学规律碰撞后：匀速直线运动
（4）对整体
在整体上遵循确定的统计规律在整体上遵循确定的统计规律在整体上遵循确定的统计规律

2.统计规律的特征

大量偶然事件组成整体，少量事件不服从统计规律

（1）统计平均值

计算方法同算数平均值相同，如年龄M：
Mˉ=∑每个年龄×对应年龄的人数总人数\bar M=\frac{\sum每个年龄\times对应年龄的人数}{总人数} Mˉ=总人数∑每个年龄×对应年龄的人数
统计平均值：分子速度：
vˉx=vx1ΔN1+vx2ΔN2+...N=∫vxdNNvˉy=vy1ΔN1+vy2ΔN2+...N=∫vydNNvˉx2=vx12ΔN1+vx22ΔN2+...N=∫vx2dNN\bar v_x=\frac{v_{x_1}\Delta N_1+v_{x_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x dN}{N}\\ \bar v_y=\frac{v_{y_1}\Delta N_1+v_{y_2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_y dN}{N}\\ \bar v_x^2=\frac{v_{x_1}^2\Delta N_1+v_{x_2^2}\Delta N_2+...}{N}=\frac{\int v_x^2 dN}{N}\\ vˉx=Nvx1ΔN1+vx2ΔN2+...=N∫vxdNvˉy=Nvy1ΔN1+vy2ΔN2+...=N∫vydNvˉx2=Nvx12ΔN1+vx22ΔN2+...=N∫vx2dN

（3）概率

在一定条件下，每个状态出现的次数NAN_ANA和测量总次数NNN（即所有状态出现的次数的总和）的比值是一个确定值，称为A状态出现的概率WAW_AWA
WA=lim⁡N→∞NAN对一个系统：{所有状态出现的总次数NA状态出现的次数NAA状态出现的概率WAW_A=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{N_A}{N}\\ 对一个系统：\begin{cases} 所有状态出现的总次数N\\ A状态出现的次数N_A\\ A状态出现的概率W_A\\ \end{cases} WA=N→∞limNNA对一个系统：⎩⎪⎨⎪⎧所有状态出现的总次数NA状态出现的次数NAA状态出现的概率WA

（4）归一化概念

所有可能出现的状态之和为1
∑WA=∑NiN=1\sum W_A=\frac{\sum N_i}{N}=1\\ ∑WA=N∑Ni=1

三、理想气体的压强公式

1.理想气体的模型

（1）宏观模型

遵循三个实验规律

（2）微观模型

弹性小球碰撞模型

（3）统计假设

实验事实：平衡态时，容器中的气体分子数密度n均匀分布

假设：做热运动的分子向各个方向的运动机会相等，任何一个方向不必其他方向更占优势

所以：分子速度在各个方向分量的各种平均值相等
vˉx=vˉy=vˉz=0vˉx2=vˉy2=vˉz2又因为vˉ2=vˉx2+vˉy2+vˉz2所以vˉx2=vˉx2=vˉx2=13vˉ2\bar v_x=\bar v_y=\bar v_z=0\\ \bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2\\ 又因为\bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2\\ 所以\bar v_x^2=\bar v_x^2=\bar v_x^2=\frac{1}{3}\bar v^2 vˉx=vˉy=vˉz=0vˉx2=vˉy2=vˉz2又因为vˉ2=vˉx2+vˉy2+vˉz2所以vˉx2=vˉx2=vˉx2=31vˉ2
n:分子数密度n=NVn=\frac{N}{V}n=VN

（4）压强公式

p=13nμvˉ2p=\frac{1}{3}n\mu\bar v^2 p=31nμvˉ2

设一个分子的平均动能：
εˉ=12μvˉ2\bar \varepsilon=\frac{1}{2}\mu \bar v^2 εˉ=21μvˉ2
那么
p=23nεˉp=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon p=32nεˉ

（5）理想气体温度公式

{p=nkTp=23nεˉ⇒εˉ=32kT——温度公式\begin{cases} p=nkT\\ p=\frac{2}{3}n\bar\varepsilon \end{cases}\Rightarrow \bar\varepsilon=\frac{3}{2}kT——温度公式 {p=nkTp=32nεˉ⇒εˉ=23kT——温度公式

注意：

温度公式只对大量分子有意义，对单个少量分子无意义
分子平均动能只与分子的温度有关，而与分子的种类无关，T相同那么分子动能相同
均方根速率

vˉ2=3RTM\sqrt{\bar v^2}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} vˉ2=M3RT

四、麦克斯韦速率分布定律

单个分子：速度偶然
少量分子：速度分布没有规律
大量分子：速度分布有规律

1.速率分布

分子总数N，分子速率可能取值0→∞0\rightarrow\infty0→∞

将速率分成许多相等的小区间Δv\Delta vΔv——速率区间

每个速率区间内的分子数:ΔN\Delta NΔN

每个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是不同的
平衡态时，Δv\Delta vΔv内的分子数ΔN\Delta NΔN占总分子数N的百分比ΔNN\frac{\Delta{N}}{N}NΔN随速度变化的规律称为速度分布规律
此规律在无外场时称为麦克斯韦速率分布规律

2.麦氏速度分布律

麦氏速率分布律：

无外场，理想气体平衡态时，各单位速率区间内的分子数占总分子数的百分数按速率 v 分布的规律
N:分子总数dv:速率区间dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的)dNN:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比N:分子总数\\ dv:速率区间\\ dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的)\\ \frac{dN}{N}:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比 N:分子总数dv:速率区间dN:在速率区间v到v+dv内的分子数(不能说是dv内的)NdN:在速率区间v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比

（1）麦氏分布速率函数表达式

dNN\frac{dN}{N}NdN和什么有关？
- dv
- v
写成等式：
dNN=f(v)⋅dv\frac{dN}{N}=f(v)·dv NdN=f(v)⋅dv
f(v)f(v)f(v)的物理意义
f(v)=dNdv1Nf(v)=\frac{dN}{dv}\frac{1}{N}\\ f(v)=dvdNN1
表示在速率为v处单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
其他的一些变形的表示意义
1.{f(v)dv=dNN:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比Nf(v)dv=dN:在v到v+dv区间内的分子数2.{在给定速率区间v1到v2内的分子百分比是多少？ΔNN=∫v1v2f(v)dvv1到v2内的分子数：ΔN=N∫v1v2f(v)dv3.在整个速率区间（0，+∞）内分子的百分数是多少?∑iΔNiN=∫0∞f(v)dv=11.\begin{cases} f(v)dv=\frac{dN}{N}:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比\\ Nf(v)dv={dN}:在v到v+dv区间内的分子数\\ \end{cases}\\ 2.\begin{cases} 在给定速率区间v_1到v_2内的分子百分比是多少？\frac{\Delta N}{N}=\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ v_1到v_2内的分子数：\Delta N=N\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv\\ \end{cases}\\ 3.在整个速率区间（0，+\infty）内分子的百分数是多少? \sum\limits_{i}\frac{\Delta N_i}{N}=\int_{0}^{\infty}f(v)dv=1\\ 1.{f(v)dv=NdN:在v到v+dv内的分子数占总分子数的百分比Nf(v)dv=dN:在v到v+dv区间内的分子数2.{在给定速率区间v1到v2内的分子百分比是多少？NΔN=∫v1v2f(v)dvv1到v2内的分子数：ΔN=N∫v1v2f(v)dv3.在整个速率区间（0，+∞）内分子的百分数是多少?i∑NΔNi=∫0∞f(v)dv=1
速度归一化条件

3.麦氏速率分布的应用

（1）最可几速率vpv_pvp

根据f(v)f(v)f(v)函数的极值求导得
vp=2RTMmolv_p=\sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}}\\ vp=Mmol2RT
可知，最可几速率与温度和气体的种类有关

（2）麦氏速率分布曲线

要注意的是温度升高，曲线最大值升高，但是还要注意归一化条件：曲线的面积不变

（3）利用f(v)f(v)f(v)求统计平均值

a.平均速率
vˉ=∫0∞vf(v)dv\bar v=\int_0^{\infty}vf(v)dv\\ vˉ=∫0∞vf(v)dv

b.均方根速率
v2ˉ=∫0∞v2f(v)dv\bar {v^2}=\int_0^{\infty}{v^2}f(v)dv\\ v2ˉ=∫0∞v2f(v)dv

c.平均动能
εˉ=∫0∞12μv2f(v)dv\bar \varepsilon=\int_0^{\infty}\frac{1}{2}\mu {v^2}f(v)dv\\ εˉ=∫0∞21μv2f(v)dv
总结，求某个和速率有关的统计平均值：M(v)
M(v)=∫0∞M(v)f(v)dvM(v)=\int_0^{\infty}M(v)f(v)dv\\ M(v)=∫0∞M(v)f(v)dv

五、能量按自由度均分原理

{单原子分子气体：热运动能量只有平动动能多原子分子气体：{平动动能转动动能\begin{cases} 单原子分子气体：热运动能量只有平动动能\\ 多原子分子气体：\begin{cases} 平动动能\\ 转动动能\\ \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧单原子分子气体：热运动能量只有平动动能多原子分子气体：{平动动能转动动能

1.自由度：iii

（1）确定一个物体空间位置的独立坐标数iii

（2）自由运动质点的自由度

在空间自由运动：i=3

在平面自由运动：i=2

在直线自由运动：i=1

问
- 质点在平面做圆运动，自由度i=?
- 质点在空间做曲线运动，自由度？
钢棒的自由度
- x,y,z
- α,β,γ\alpha,\beta,\gammaα,β,γ
- 3+3-1
刚体的自由度
- 一般：平动+转动：6
理想气体分子的自由度
- 单原子：3
- 双原子：5
- 多原子：6

2.能量按自由度均分原理

（1）定理内容

温度为 T 的平衡态时，气体分子的每个自由度上都有一份相同的平均动能，数值为：12kT\frac{1}{2}kT21kT

εˉ=32kT\bar \varepsilon=\frac{3}{2}kTεˉ=23kT均匀分布在3个自由度上

（2）一个分子的平均总动能

由自由度判断εˉ=i2kT\bar \varepsilon=\frac{i}{2}kTεˉ=2ikT
{单原子分子：32kT双原子分子：52kT多原子分子：3kT\begin{cases} 单原子分子：\frac{3}{2}kT\\ 双原子分子：\frac{5}{2}kT\\ 多原子分子：3kT \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧单原子分子：23kT双原子分子：25kT多原子分子：3kT

3.理想气体的内能E

内能:{平动动能转动动能1mol理想气体（自由度为i）的内能：i2kT1mol单原子理想气体的内能：32kT质量为mkg，自由度为i的气体的内能：mMmoli2kT内能:\begin{cases} 平动动能\\ 转动动能\\ \end{cases}\\ 1mol理想气体（自由度为i）的内能：\frac{i}{2}kT\\ 1mol单原子理想气体的内能：\frac{3}{2}kT\\ 质量为m kg，自由度为i的气体的内能：\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT\\ 内能:{平动动能转动动能1mol理想气体（自由度为i）的内能：2ikT1mol单原子理想气体的内能：23kT质量为mkg，自由度为i的气体的内能：Mmolm2ikT

总结得出：
E=mMmoli2kTE=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}kT E=Mmolm2ikT

六、气体分子的碰撞和平均自由能

非平衡态→\rightarrow→平衡态：通过热运动的相互碰撞实现的

1.气体分子的碰撞机制

非接触性碰撞

（1）分子的有效直径

（2）分子的平均有效直径dˉ\bar ddˉ

约10−1010^{-10}10−10

2.平均碰撞频率，平均自由程

（1）碰撞频率Z

一个分子在1s内和其他分子的碰撞的次数

平均碰撞次数zˉ\bar zzˉ

（2）自由程λ\lambdaλ

一个分子连续两次碰撞之间通过的路程

平均自由程λˉ\bar \lambdaλˉ

（3）z和λ\lambdaλ之间的关系

1s内通过的路程vˉ\bar vvˉ
1s内发生碰撞的次数Zˉ\bar ZZˉ
每碰一次，路程被折成一段：λˉ=vˉZˉ\bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z}λˉ=Zˉvˉ

3.平均自由程和碰撞频率的统计规律

（1）平均碰撞次数：Zˉ\bar ZZˉ
Zˉ=πdˉ2⋅uˉn其中：Zˉ是平均碰撞次数dˉ是平均有效直径uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度\bar Z=\pi \bar d^2·\bar u n\\ 其中：\bar Z是平均碰撞次数\\ \bar d是平均有效直径\\ \bar u是a分子相对于其他分子的速率\\ n是分子数密度 Zˉ=πdˉ2⋅uˉn其中：Zˉ是平均碰撞次数dˉ是平均有效直径uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度
（2）表达式
uˉ=2vˉ∴Zˉ=πdˉ2⋅2vˉnλˉ=vˉZˉ=12πdˉ2⋅n\bar u=\sqrt{2}\bar v\\ ∴\bar Z=\pi \bar d^2·\sqrt{2}\bar v n\\ \bar\lambda=\frac{\bar v}{\bar Z}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \bar d^2·n} uˉ=2vˉ∴Zˉ=πdˉ2⋅2vˉnλˉ=Zˉvˉ=2πdˉ2⋅n1
而在宏观状态下：
p=nkT,vˉ=8RTπMmol∴Zˉ=2πdˉ2⋅8RTπMmolpkTλˉ=kT2πdˉ2p——宏观表达式p=nkT,\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\\ ∴\bar Z=\sqrt{2}\pi \bar d^2·\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}\frac{p}{kT}\\ \bar\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi\bar d^2 p}——宏观表达式 p=nkT,vˉ=πMmol8RT∴Zˉ=2πdˉ2⋅πMmol8RTkTpλˉ=2πdˉ2pkT——宏观表达式

vˉ\bar vvˉ增大，自由程会变化吗？
- 会，平均有效直径会变化

uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度\bar u是a分子相对于其他分子的速率\\ n是分子数密度 uˉ是a分子相对于其他分子的速率n是分子数密度

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