灰度图像--图像分割 阈值处理之OTSU阈值
学习DIP第55天
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#开篇废话
废话开始，今天介绍OTSU算法，本算法比前面给出的算法更能够给出数学上的最佳阈值，不需要任何输入附加参数、与同样不需要输入附加参数的迭代均值和均值阈值来比较，OTSU给出的阈值能使分类更加均匀。
阈值处理将灰度值分为两类，而对于分类问题，已有的一种最优闭合解–贝叶斯决策规则。
#贝叶斯决策规则
首先介绍下贝叶斯公式的形象化理解，考虑下图
上面的12幅图中有手枪和弹夹，只有弹夹和手枪出现在同一个盒子的时候才有杀伤力，也就是你拿到一个盒子，你不知道里面是什么，有可能是枪，有可能是弹夹，有可能同时有枪和弹夹。下面来从概率学角度分析
设盒子里有枪为事件A，那么A出现的概率设为p(A)p(A)p(A)。
设盒子里有弹夹为事件B，那么B出现的概率设为p(B)p(B)p(B)。
那么同时出现事件A和事件B的概率为p(AB)p(AB)p(AB)
看图可以知道
$p(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} $..........(1) $p(B)=\frac{7}{12} $..........(2) $p(AB)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} $..........(3)
考虑我们随机抽出一个盒子，先拿出一个东西，比如先拿出一把枪，那么也就是事件A发生了，那么我们继续从盒子里拿东西，有可能拿到弹夹，也有可能啥也没有，那么拿到弹夹的概率就如下：
$p(B|A)=\frac{3}{8} $..........(4)
同理，如果先拿出来的是个弹夹，那么接下来拿出枪的概率是：
$p(A|B)=\frac{3}{7} $..........(5)
结合(1)(2)(3)(4)(5)，可以得到：
$p(AB)=p(A|B)*p(B)=p(B|A)*p(A) $..........(6)
假设下面情形：
已知拿出枪的概率是：
$p(A)=\frac{2}{3} $
拿出枪以后拿出弹夹的概率
$p(B|A)=\frac{3}{8} $
拿出弹夹的概率：
$p(B)=\frac{7}{12} $
求拿出弹夹以后拿出枪的概率
$p(A|B)=\frac{p(B|A)*p(A)}{p(B)} $
以上就是贝叶斯公式的一般形式，更复杂的形式会在后面的文章中详细介绍。（更复杂的形式是指盒子里有枪，子弹，弹夹，手榴弹。。。。。。）
#数学原理
OTSU算法可以基于直方图计算，考虑灰度级为{0，1，2…L-1}大小为$M \times N 的图像，设的图像，设的图像，设n_i $为灰度级为i的像素的总数量，那么:
$M \times N=\sum^{L-1}_{i=0}n_i $ $p(n_i)=\frac{n_i}{M \times N} $ $\sum^{L-1}_{i=0}p_i=1 $
假设阈值为k将直方图分成两部分。
部分1(C1)(C_1)(C1)的概率为：
$p_1(k)=\sum^{k}_{i=0}p_i $
部分2(C2)(C_2)(C2)的概率为：
$p_2(k)=\sum^{L-1}_{i=k+1}p_i $
部分1(C1)(C_1)(C1)的平均数：
$m_1(k)=\sum^{k}_{i=0}i*P(i|C_1)=\sum^{k}_{i=0}i*\frac{P(C_1|i)*P(i)}{P(C_1)} $
$P(C_1|i) 的值为1，因为的值为1，因为的值为1，因为i 是属于是属于是属于C_1 的，所以发生的，所以发生的，所以发生i 以后发生以后发生以后发生C_1 $的概率是100%，所以
$m_1(k)=\frac{1}{P_1(k)} \sum^{k}_{i=0}i*p_i $
部分2(C2)(C_2)(C2)的平均数：
$m_2(k)=\frac{1}{P_2(k)} \sum^{L-1}_{k+1}i*p_i $
全图的均值
$m_G=\sum^{L-1}_{i=0}iP_i $
上面的式子可以由下面验证：
$P_1m_1+P_2m_2=m_G $ $P_1+P_2=1 $
下面就是关键部分了，如何评价一个阈值的好坏，提出一个阈值，将像素灰度分为两类，通过以下的公式来评价阈值质量：
$\eta=\frac{\delta_B^2}{\delta_G^2} $ $\delta_G^2=\sum^{L-1}_{i=0}(i-m_G)^2*p_i $
δB2\delta_B^2δB2是类间方差，其定义为：
$\delta_B^2=P_1(m_1-m_G)^2+P_2(m_2-m_G)^2 $
公式还可以写成：
$\delta^2_B=P_1P_2(m_1-m_2)^2=\frac{P_1(m_1-m_G)^2}{1-P_1} $
于是最佳阈值$k^* $由下面得出：
$\delta^2_B(k^*)=max_{0\leq k \leq L-1}\delta^2_B(k) $
通过上式可以通过迭代计算出最佳的k值。使用k作为阈值，对图像进行处理。
#代码实现
/**OTSU 算法*otsu 算法使用贝叶斯分类原理得到最好聚类***/
//归一化直方图void setHist2One(double *hist_d,double *dst_hist_d){double sum=0.0;for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)sum+=hist_d[i];if(sum!=0)for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)dst_hist_d[i]=hist_d[i]/sum;}
//计算公式中最大的deta，并返回直方图灰度
double findMaxDeta(double *hist_d){double max_deta=-1.0;double max_deta_location=0.0;double m_g=0.0;for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++)m_g+=i*hist_d[i];for(int i=0;i<GRAY_LEVEL;i++){double p1=0.0;double m1=0.0;double deta=0.0;for(int j=0;j<=i;j++){p1+=hist_d[j];m1+=j*hist_d[j];}deta=p1*(m1-m_g)*(m1-m_g)/(1-p1);if(deta>max_deta){max_deta_location=i;max_deta=deta;}}return max_deta_location;
}
void OTSUThreshold(double *src,double *dst,int width,int height,int type){int hist[GRAY_LEVEL];double hist_d[GRAY_LEVEL];setHistogram(src, hist, width, height);Hist_int2double(hist, hist_d);setHist2One(hist_d, hist_d);double threshold=findMaxDeta(hist_d);Threshold(src, dst, width, height, threshold, type);
}#观察结果
原图：
 
加入1%的高斯噪声：
 
加入3%的高斯噪声：
 
加入5%的高斯噪声：
 
加入7%的高斯噪声：
 
加入9%的高斯噪声：
 
加入11%的高斯噪声：
 
lena:
baboon:
#总结
OTSU算法产生的阈值是数学角度上的最佳分类，数学基础的贝叶斯公式，但应用也有一定的局限性，比如，前面说过最多的，对全局阈值，目标与背景的大小关系，当目标和背景大小相差很多时，或者噪声很大的时候，对OTSU产生影响较大。
待续。。。
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- 6.0 灰度图像-图像分割 综合介绍
- 6.1 灰度图像-图像分割 边缘模型
- 6.2 灰度图像-图像分割 边缘检测算子 综述
- 6.3 灰度图像-图像分割 Robert算子
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- 6.8 灰度图像-图像分割 Canny边缘检测
- 6.9 灰度图像-图像分割 Marr-Hildreth算子（LoG算子）
- 6.10 灰度图像-图像分割 霍夫变换(Hough Transform)–直线
- 7.0 灰度图像-图像分割 阈值处理综述
- 7.1 灰度图像-图像分割 阈值处理之平均阈值
- 7.2 灰度图像-图像分割 阈值处理之P-Tile阈值
- 7.3 灰度图像–图像分割 阈值处理之迭代均值阈值
- 7.4 灰度图像-图像分割 阈值处理之谷底阈值、峰顶平均
- 7.5 灰度图像-图像分割 阈值处理之OTSU阈值
- 7.6 灰度图像–图像分割 阈值处理之补充说明
- 7.7 灰度图像-图像分割 阈值处理之局部阈值
- 7.8 灰度图像-图像分割 区域分割之区域生长
- 7.9 灰度图像-图像分割 区域分割之区域分离
- 7.10 灰度图像-图像分割 区域分割之分水岭算法
- 8.0 彩色模型，CIE XYZ，CIE RGB
- 8.1 彩色图像-色彩空间 综述
- 8.2 彩色图像-色彩空间 RGB系列
- 8.3 彩色图像-色彩空间 CMY(K)空间
- 8.4 彩色图像-色彩空间 YIQ 、YUV 、YCbCr 、YC1C2 和I1I2I3
- 8.5 彩色图像-色彩空间 CIELAB、CIELUV
- 8.6 彩色图像-色彩空间 HSI(HSL)、HSV(HSB)
- 8.7 彩色图像-色彩空间 总结
- 9.1 彩色图像-伪彩处理 灰度图转伪彩色图像
- 9.2 彩色图像-彩色变换 补色处理
- 10.1 彩色图像-图像增强 直方图增强
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- 2.0 CUDA编程模型概述(一)
- 2.1 CUDA编程模型概述(二)
- 2.2 给核函数计时
- 2.3 组织并行线程
- 2.4 设备信息查询
- 3.1 CUDA执行模型概述
- 3.2 理解线程束执行的本质（Part I）
- 3.2 理解线程束执行的本质（Part II）
- 3.3 并行性表现
- 3.4 避免分支分化
- 3.5 循环展开
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- 4.1 内存模型概述
- 4.2 内存管理
- 4.3 内存访问模式
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