网络流与线性规划24题02太空飞行计划问题

问题描述：
W 教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业
性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合E={E1，E2，…，Em}，和进行这
些实验需要使用的全部仪器的集合I={I1，I2，…In}。实验Ej需要用到的仪器是I的子集RjÍI。
配置仪器Ik的费用为ck美元。实验Ej的赞助商已同意为该实验结果支付pj美元。W教授的
任务是找出一个有效算法，确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才
能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部
费用的差额。
编程任务：
对于给定的实验和仪器配置情况，编程找出净收益最大的试验计划。
数据输入：
由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有2 个正整数m和n。m是实验数，n是仪
器数。接下来的m 行，每行是一个实验的有关数据。第一个数赞助商同意支付该实验的费
用；接着是该实验需要用到的若干仪器的编号。最后一行的n个数是配置每个仪器的费用。
结果输出:
程序运行结束时，将最佳实验方案输出到文件output.txt 中。第1 行是实验编号；第2
行是仪器编号；最后一行是净收益。

输入文件示例：

2 3
10 1 2
25 2 3
5 6 7

输出文件示例：

1 2
1 2 3
17

分析：

刚拿到这题很迷茫，上网搜了相关的资料，说是最大闭合权图的问题，然后去看了胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》，然后又去下载了相关的最小割与最大流的相关理论，最后终于明白了这道题目。这题是最大权闭合图问题，可以转化成最小割问题，可用最大流解决。

把每个仪器看作X顶点，把实验看作Y顶点，增加S和T点。

S点连接所有的X顶点，权值为每个仪器的费用，T点连接所有实验，权值是收入。

如果实验需要相应的仪器，则把对应的X,Y顶点相连，权值为无穷大，

那么最大收入则为所有实验的收入减去最小割，根据最小割最大流定理，最小割就是最大流。

对应的解就是最小割划分出的T集合中的点，也就是最后一次寻找增广路径时不能从S访问到的顶点。

然后，上网又看了一下Edmonds-Karp算法，发现网络上有个版本比我现在用着的快一点，我用的版本是求出所有的增广路，最后检查T的可行性，而那个版本是只要增广路到了T点，就立刻更新流。觉得很好用，就把写好的算法又改了一下。具体区别可对比我的上一题 01飞行员配对方案问题。

代码：

#include<cstdio>
#include<sstream>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int INF = 100000000;
int main()
{
int cap[101][101];
int flow[101][101];
int n,m,f=0;
scanf("%d%d",&m,&n);
getchar();
char temp[100];
int cost,num,sum=0;
int s=0,t=n+m+1;
//建图
for(int i=1;i<=m;i++){
cin.getline(temp,100);
stringstream in(temp);//string流
in>>cost;
sum+=cost;
cap[n+i][n+m+1]=cost;
while(in>>num) cap[num][n+i]=INF;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&cost);
cap[0][i]=cost;
}
//Edmonds-Karp算法求最大流
queue<int> q;
int a[101];
int p[101];
memset(a,0,sizeof(a));
q.push(s);
a[0]=INF;
while(!q.empty()){
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=1;i<=t;i++) if(!a[i]&&cap[now][i]>flow[now][i]){
q.push(i);
p[i]=now;
a[i]=min(a[now],cap[now][i]-flow[now][i]);
if(i==t){
for(int i=t;i!=s;i=p[i]){
flow[p[i]][i]+=a[t];
flow[i][p[i]]-=a[t];
}
f+=a[t];
memset(a,0,sizeof(a));
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(s);
a[0]=INF;
break;
}
}
}
//输出解
for(int i=n+1;i<t;i++)
if(!a[i]) printf("%d ",i-n);
printf("\n");
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!a[i]) printf("%d ",i);
printf("\n");
printf("%d\n",sum-f);
return 0;
}

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