卷积满足交换律：F*G(x)=G*F(x)

求证：卷积满足交换律 F ∗ G ( x ) = G ∗ F ( x ) F*G(x)=G*F(x) F∗G(x)=G∗F(x)

证明：依据卷积的定义， F ∗ G ( x ) ≜ ∫ − ∞ + ∞ G ( x − t ) F ( t ) d t F*G(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt F∗G(x)≜∫−∞+∞G(x−t)F(t)dt，

而， G ∗ F ( x ) ≜ ∫ − ∞ + ∞ F ( x − t ) G ( t ) d t G*F(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} F(x-t)G(t) dt G∗F(x)≜∫−∞+∞F(x−t)G(t)dt

= 令 τ = x − t ∫ − ∞ + ∞ F ( τ ) G ( x − τ ) d ( x − τ ) \xlongequal{令\tau=x-t}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d(x-\tau) 令τ=x−t ∫−∞+∞F(τ)G(x−τ)d(x−τ)

= − ∫ + ∞ − ∞ F ( τ ) G ( x − τ ) d τ =-\int_{+\infty}^{-\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau =−∫+∞−∞F(τ)G(x−τ)dτ

= ∫ − ∞ + ∞ F ( τ ) G ( x − τ ) d τ =\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau =∫−∞+∞F(τ)G(x−τ)dτ

= ∫ − ∞ + ∞ G ( x − τ ) F ( τ ) d τ =\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-\tau)F(\tau) d\tau =∫−∞+∞G(x−τ)F(τ)dτ

= ∫ − ∞ + ∞ G ( x − t ) F ( t ) d t =\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt =∫−∞+∞G(x−t)F(t)dt

本文证明过程的LaTeX代码如下：

依据卷积的定义，$F*G(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt$，而，$G*F(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} F(x-t)G(t) dt$$\xlongequal{令\tau=x-t}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d(x-\tau)$$=-\int_{+\infty}^{-\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau$$=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau$$=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-\tau)F(\tau) d\tau$$=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt$

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