2.1 数学基础、大O表示法、洛必达法则相对增长率、T(N) = O( f(N) )、Ω( g(N) )、Ω( h(N) )、o( p(N) )

2.1 数学基础

①定义2.1：如果存在正常数 c 和 n0，使得当 N≤cf(N) ，则记为 T(N) = O( f(N) )

解释：T(N) 的增长率 ≤ f(N)

定义2.2：如果存在正常数 c 和 n0，使得当 N ≥ cf(N) ，则记为 T(N) = Ω( g(N) )

解释：T(N) 的增长率 ≥ g(N)

定义2.3：T(N) = θ( h(N) ) 当且仅当 T(N) = O( h(N) ) 和 T(N) = Ω( h(N) )

解释：T(N) 的增长率 = h(N)

定义2.4：如果对每一正常数 c 都存在常数 n0，使得当 N > n0 时 T(N) < cp(N)，则 T(N) = o( p(N) )

如果 T(N) = O( p(N) ) 且 T(N) ≠ θ( p(N) )，则 T(N) = o( p(N) )

(注意大O和小o有区别:大O包含增长率相同的可能性，所以会有等于的关系)

解释：T(N) 的增长率 < g(N)

②大O表示法：称一个函数g(n)是O( f(n) )，当且仅当存在常数 c>0 和 n0>=1，对一切 n>n0 均有 |g(n)|<=c|f(n)| 成立，也称函数 g(n) 以 f(n) 为界或者称 g(n) 优于f(n)，记作g(n)=O(f(n))。定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数。T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂度的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。

大O表示法表示时间复杂度，注意它是某一个算法的时间复杂度。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2），它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂度，如果某个算法的复杂度到达了这个问题复杂度的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

③ 当 T(N) = O( f(N) ) 时，是在保证函数 T(N) 以不快于 f(N) 的速度增长，得到 f(N) 是 T(N) 的一个上界，T(N) 是 f(N) 的一个下界，

即 T(N) = O( f(N) ) --> f(N) = Ω( T(N) )

例子：N^3 比 N^2 增长快 -->N^2 = O( N^3 ) 或 N^3 = Ω( N^2 )

④ 如果 T1(N) = O( f(N) ) 且 T2(N) = O( g(N) )，那么

a) T1(N) + T2(N) = O( f(N) + g(N) ) [ 直观的和非正式的可以写成 max( O( f(N) ), O( g(N) ) ) ]

b) T1(N) * T2(N) = O( f(N) * g(N) )

⑤ 如果T(N) 是一个k次多项式，则 T(N) = θ( N^k )

⑥ 对任意常数k, ( log( 2,N ) ) ^k = O(N)，说明对数增长得很缓慢

⑦ 计算极限 lim( N->oo ) f(N) / g(N)，确定 f(N) 和 g(N) 的相对增长率，洛必达法则：

a) 极限是 0： f(N) = o( g(N) )

b) 极限是 c≠0： f(N) = θ( g(N) )

c) 极限是 oo: g(N) = o( f(N) )

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