无穷小的比较（无穷小的替换常用公式）

无穷小比较的定义

无穷小的比较

无穷小比较的定义

高阶无穷小。如果 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=0$ ,那么 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小。记作 $\beta=o(a)$
低阶无穷小。如果 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }= \infty$ ，那么 $\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小。
同阶无穷小。如果 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }=c\neq 0$ , 那么 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶无穷小。
k阶无穷小。如果 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha^k }=c\neq 0,k>0$ , 那么 $\beta$ 是 $\alpha$ 的k阶无穷小。
等价无穷小。如果 $\lim_{}\frac{\beta }{\alpha }= 1$ ，那么 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小。记作 $\alpha$ ~ $\beta$

高阶低阶其实就是趋向于某一极限的快慢程度。假设当x趋向于正无穷 $\alpha$ 和 $\beta$ 都趋向正无穷时，如果两个式子相比极限为0，说明分子趋向于无穷的程度要比分母的慢，极端点想就是分子为0分母为无穷大分数才能为0。

最常考的其实是等价无穷小。这块会求极限就很简单了。

无穷小的比较

常用等价无穷小公式

以下公式前提都是x趋向于0，x不趋向于0则不一定成立。

sinx~x tanx~x

arcsinx~x 1-cosx~ $\frac{1}{2}x^2$

arctanx~x secx-1~ $\frac{x^2}{2}$

$(1+x)^\frac{1}{n}-1$ ~ $\frac{1}{n}x$ 即 $\sqrt[n]{1+x}-1$ ~ $\frac{1}{n}x$

$ln(1+x)$ ~ $x$ $e^x-1$ ~ $x$

$(1+x)^a-1$ ~ $ax$

(用后面那条公式的时候需要注意，比如 $\sqrt[]{1+x}-1=\frac{1}{2}x^2$ ，此时n应该为2而不是为1)

实际上还有无穷小等价关系的性质，如对称性(若 $\alpha$ ~ $\beta$ ，则 $\beta$ ~ $\alpha$ ），自反性（ $\alpha$ ~ $\alpha$ ），传递性（若 $\alpha$ ~ $\beta$ ， $\beta$ ~ $\gamma$ ，则 $\alpha$ ~ $\gamma$ ）

这里的易错点就是x得趋向于0时上面这些等价无穷小才适用，而且替换后的式子极限存在。

同时只有分子或分母是若干因子的乘积时才能替换，比如当式子为sinx+x是不能替换的，但 $sinx \times x$ 则是可以替换sinx为x的。

例1：当 $x\rightarrow 0$ , $2x-x^2$ 与 $x^2-x^3$ 相比，哪一个是高阶无穷小。

$\alpha$ ： $2x-x^2$ $\beta$ ： $x^2-x^3$

这式子可能还不够直观，比一比 $\frac{\beta}{\alpha}$ ，发现x能消去，得到 $2-x$ 和 $x-x^2$ ,这就很直观了。题目问的是趋向于0时这两个式子相比， $\alpha$ 此时接近于2， $\beta$ 则接近于0，最后相比结果极限为0.所以 $x^2-x^3$ 是 $2x-x^2$ 的高阶无穷小。

例2：求 $\lim_{x->0}\frac{tan2x}{sin5x}$

这里要用到等价无穷小，已知x趋向0时，sinx~x（sinx和x是等价无穷小),和tanx~x,那么直接把tan2x替换为2x，sin5x替换为5x，最后得到结果 $\lim_{x->0}\frac{tan2x}{sin5x}=\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$

例3：求 $\lim_{x->0}\frac{(1+x^2)^\frac{1}{3}-1}{cosx-1}$

由 $(1+x)^\frac{1}{n}-1$ ~ $\frac{1}{n}x$ 可得，上面的式子可以化成 $\frac{1}{3}x^2$ ,下面的式子可以化成 $-\frac{1}{2}x^2$ ，最后结果为 $-\frac{2}{3}$

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