LIS的O(nlogn)算法(二分)
【hdu1950】Bridging signals
传送门:点我
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O(n^2)解法:(n为4w,TLE)
memset(dp,1,sizeof(dp));
int ans=-1;
for(i=2; i<=n; i++)
{for(j=1; j<i; j++){if(s[i]>s[j])dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);}ans=max(ans,dp[i]);
}
最长上升子序列(LIS)的典型变形,熟悉的n^2的动归会超时。LIS问题可以优化为nlogn的 算法。
定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素,若有多个长度为k的上升子序列,则记录最小的那个最末元素。
注意d中元素是单调递增的,下面要用到这个性质。
首先len = 1,d[1] = a[1],然后对a[i]:若a[i]>d[len],那么len++,d[len] = a[i];
否则,我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j,满足d[j-1]<a[i]<d[j],则根据D的定义,我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素(使之为最小的)即 d[j] = a[i];
最终答案就是len
利用d的单调性,在查找j的时候可以二分查找,从而时间复杂度为nlogn。
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最长上升子序列nlogn算法
在川大oj上遇到一道题无法用n^2过于是,各种纠结,最后习得nlogn的算法
最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了,这两个太容易理解了。
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=40005;
int arr[MAXN],ans[MAXN],len;
int Binary_search(int i)
{ int l,r,mid; l=0,r=len; while(l<=r) { mid=(l+r)>>1; if(ans[mid]>=arr[i]) r=mid-1; else l=mid+1; } return l;
}
int main()
{int T,p,i;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&p);for(i=1; i<=p; ++i)scanf("%d",&arr[i]);ans[1] = arr[1];len=1;for(i=2; i<=p; ++i){if(arr[i]>ans[len])//加不加等号根据琴情况判断ans[++len]=arr[i];else{int pos=Binary_search(i);// 如果用STL:int pos=lower_bound(ans+1,ans+len+1,arr[i])-ans;ans[pos] = arr[i];}}printf("%d\n",len);}return 0;
}
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