【c++提高1】最近共先祖LCA优化求法

大纲

1.树上倍增&欧拉序+RMQ
2.Tarjan
3.例题

1.树上倍&欧拉序+RMQ

定义：给定一棵有根树，若节点u既是节点x的祖先，也是节点y的祖先，则称u是x和y的公共祖先。
在x,y的所有公共祖先中，深度最大的一个称为x,y的最近公共祖先，记为LCA(x, y)。
例如：下图中，2和3的最近公共祖先是1， 2和5的公共祖先是2。4和9的最近公共祖先是2。
两个结点的公共祖先可能有多个（例如2和1都是4,5的公共祖先），但最近公共祖先只有一个。

向上标记：
① 从x向上遍历，直到根节点，遍历过程中标记所有x的祖先。
② 从y向上遍历，遍历过程中首次遇到已标记结点时，该节点就是LCA(x, y);
向上标记法单次询问时间复杂度为：O(N)。
朴素算法：
① DFS/BFS求出树中每个节点的深度。
② 将x和y中深度较大的向上调整，直到x和y的深度相同。
③ 将x和y同时向上调整，直到相遇，首次相遇的结点即是x和y的最近公共祖先。
朴素算法单次询问时间复杂度为：O(N)。
在朴素算法中x和y向上调整时都是一步一步向上调整，倍增法使用倍增的方式向上调整。
在将x和y以倍增的方式向上调整时，如何知道倍增后的祖先是谁？
定义p[i][j]表示节点i的2^j祖先，倍增过程中通过p数组直接获取倍增后的祖先。
如何预处理p[i][j]的值？
i的2 ^ j祖先是i的2 ^ (j-1)祖先的2(j-1)祖先，即：p[i][j] = p[p[i][j-1]][j-1];
可以在dfs/bfs计算结点深度的同时初始化p数组，因为无论是dfs还是bfs都是
从根节点出发，当搜索到节点x时，其所有祖先一定都搜索过了。
预处理p数组时间复杂度为：O(Nlog(N))。
① DFS/BFS求出树中每个节点的深度，并预处理除任意节点的2 ^ j祖先，即： p数组。
② 将x和y中深度较大的以倍增的方式向上调整，直到x和y的深度相同。

if (d[x] < d[y])swap (x , y) ;
for (int j = log2n; j >= 0; j --)if (d[p[x][j]] >= d[y])x = p[x][j] ;

x向上调整的时间复杂度为O(log(N))。
③ 将x和y同时以倍增的方式向上调整，直到x和y相等。
为了防止调整过程中调整到LCA(x,y)的祖先结点，将x和y调整到LAC(x, y)的孩子节点就结束。

if (x == y)return x ;
for (int j = log2n; j >= 0; j --)if (p[x][j] != p[y][j]) {x = p[x][j] ;y = p[y][j] ;}
return p[x][0] ;

2.Tarjan

对于任意节点x和y，它们的最近公共祖先是它们共属的最小子树的根节点。
例如：LCA(4, 7) = 4, LCA(7, 9) = 4，LCA(7, 5) = 2，LCA(7, 10) = 1。
DFS搜索树的过程中会较小的子树会优先搜索完毕，基于这一特点可以离线计算出LCA(x, y)。
所谓离线是在一次搜索过程中把所有询问全部解决，不支持搜索后的动态查询。
Tarjan求下面树中的LCA时，会先搜索子树1中的结点和子树1中的LCA查询。当子树1搜索完
成后，会回退到u，接着搜索子树2。此时如果有两个节点分别属于子树1和子树2，则它们的
公共祖先为u。
当子树1搜索完成，且以u为根的子树还未搜索完成时，所有牵涉到子树1的查询其LCA都是u。
所以当子树1搜索完成后，设置子树1中所有节点和u属于同一集合，并设置u为集合代表。当
计算LCA(x, y)，且x属于子树2，y属于子树1时，此时y所在集合的集合代表就是LCA(x, y)。

void tarjan (int x) {p[x] = x ;for (v ∈ son (u)) {tarjan (v) ;union_set (v , x) ;}vis[x] = true ;for (query (x , y)) {if (vis[y]) {lca (x , y) = find (y) ;}}
}

算法过程：
① 将单个查询(x, y)拆分成2个查询(x, y)和(y, x)。（因为不确定x和y谁会先搜索完成）
② 从根节点开始DFS，对于当前搜索到的节点x：
a) 将x的集合代表设置为自己。
b) 枚举x的所有孩子v，递归处理以v为根的子树。
c) 当以v为根子树tarjan完成后将v所在集合合并到x。
d) 当x的所有孩子都tarjan完成后，标记子树x已经搜索完毕。
e) 枚举所有和x相关的搜索查询，对于查询(x, y)，如果y也已经搜索完毕，则LCA(x, y) = find(y)。
Tarjan求LCA算法时间复杂度：O(N+M) (M为查询次数)，Tarjan不支持在线计算LCA。

【LCA求两点距离】

设dis[i]为根结点到结点i的距离，则：dis(x, y) = dis(x) + dis(y) – 2 * dis(LCA(x, y))。
dis数组可以通过一次dfs/bfs初始化。

3.例题

小科和小丁是从小玩到大的好朋友，高中毕业后他们都考上了全宇宙最牛的大学：科丁大学。科丁大学的校园内有N栋建筑物，编号为1...N，有N-1条双向道路，每条道连接两栋建筑物，任意两栋建筑物之间都有且仅有一条简单路径。小科每天都会从建筑物a出发，前往建筑物b，小丁每天都从建筑物c出发前往建筑物d。小科想知道，他和小丁在前往各自目的地的途中有没有可能在某栋建筑物相遇。
输入格式第1行：两个空格分隔的正整数N和M，N表示建筑物的数量，M表示小科想知道接下来M天他和小丁是否有可能在某栋建筑物相遇。接下来N-1行，每行两个空格分隔的整数u和v，表示有一条道路连接u和v。接下来M行：每行4个空格分隔的整数a, b, c, d，其中第i行的4个整数，表示第i天小科将从a出发前往b，小丁将从c出发前往d。
输出格式输出M行：其中第i行表示第i天小科和小丁是否有可能相遇，如果有可能输出"YES"，否则输出“NO”。
输入输出样列
输入样例1：5 3
1 2
2 3
1 4
4 5
1 2 3 4
2 5 3 4
2 3 4 5输出样例1：YES
YES
NO说明【数据范围】1<=N, M <= 100000；1 <= u, v, a, b, c, d <= N。