解题报告：luogu P4180 [BJWC2010]严格次小生成树（次小生成树、倍增LCA优化、O(mlogn) ）

P4180 [BJWC2010]严格次小生成树

次小生成树有两种，一种是不严格次小生成树，也就是可以数值上等于最小生成树，一种是严格次小生成树，是权值严格大于最小生成树，两种求法大同小异。

方法2在严格次小生成树和不严格次小生成树都成立，而方法1只在严格次小生成树中成立

对于任意一颗最小生成树，都存在一个次小生成树（严格或者不严格都成立），与最小生成树只差1条边。

根据存在次小生成树与最小生成树只差一条边。
我们可以先通过kruskal求出最小生成树 O(mlogm)
通过这个树初始化某点到其他点的路径中最大边、次大边。 O(n²)
遍历所有未在树中的边（u–>v），看是否大于u到v的边的最大值，若大于那么可以替换这条边，若不大于那就再判断是否大于次值，若大于同理进行替换。因为这里的w一定是不小于最小生成树里的任何一条边的权值，最多会等于，而本题为严格次小生成树，不能等于。

然后本题实际上是整棵最小生成树自建立以来就没有动过，是典型的只要答案不干事，只是全程取min要答案，这样就保证了无后效性和算法的正确性。

本题直接dfs的时间复杂度为O(mlogm+n2+mlogn)O(mlogm + n^2+mlogn)O(mlogm+n2+mlogn)
而本题 nnn 的数据范围达到了500007500007500007 ，所以我们要考虑更高效的方法：
我们使用LCA和倍增代替原本的 dfsdfsdfs（全部遍历）查找最大值和次大值，可以把时间压缩到O(mlogn)O(mlogn)O(mlogn)

快200行的代码敲了我半个小时累死我了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 500007,M = 1e6 + 7, INF = 0x3f3f3f3f;int n,m;
int ver[M], nex[M], edge[M], head[N], tot;
int fa[N];
int deep[N];
int f[N][20];//lca
int d1[N][20];//注意d1[i][k]是当前i这个点从自己到2^k祖先整个路径上所有边权的的最大值，这样就不会因为lca是跳着走而有漏掉的情况
int d2[N][20];
int q[M];//手写循环队列struct node{int x,y,z;bool used;bool operator<(const node &t)const{return z < t.z;}
}e[M];int Find(int x){if(fa[x] == x)return x;return fa[x] = Find(fa[x]);
}void add(int x,int y,int z){ver[tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot] = head[x];head[x] = tot ++ ;
}void bfs(int rt){//bfs把所有的边都覆盖掉的deep[rt] = 1;int hh = 0, tt = 0;q[tt ++ ] = rt;while(hh != tt){int x = q[hh ++ ];if(hh == M)hh = 0;for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){int y = ver[i],z = edge[i];if(!deep[y]){deep[y] = deep[x] + 1;q[tt ++ ] = y;if(tt == M)tt = 0;f[y][0] = x;//lca的正常处理d1[y][0] = z;//最大值，初始化为边权d2[y][0] = -INF;//次大值，最开始为-INFfor(int k = 1;k <= 16;++k){int anc = f[y][k - 1];f[y][k] = f[anc][k - 1];//左半边和右半边int distance[4] = {d1[y][k - 1],d2[y][k - 1],d1[anc][k - 1],d2[anc][k - 1]};//这两个要初始化为-INF，一会取最大值d1[y][k] = d2[y][k] = -INF;for(int o = 0;o < 4;++o){int d = distance[o];//老规矩，大于最大，最大给次大，更新最大if(d > d1[y][k])d2[y][k] = d1[y][k],d1[y][k] = d;else if(d != d1[y][k] && d > d2[y][k])//否则看次大，反正d是不可能小于他们d2[y][k] = d;}}}}}
}int lca(int x,int y,int z){//返回差值static int distance[N * 2];//路上经过的全部放到这个数组里取最大值int cnt = 0;if(deep[x] < deep[y])swap(x,y);for(int k = 16;k >= 0;k--){if(deep[f[x][k]] >= deep[y]){distance[cnt ++ ] = d1[x][k];distance[cnt ++ ] = d2[x][k];x = f[x][k];}}if(x != y){for(int k = 16;k >= 0;--k){if(f[x][k] != f[y][k]){distance[cnt ++ ] = d1[x][k];distance[cnt ++ ] = d2[x][k];distance[cnt ++ ] = d1[y][k];distance[cnt ++ ] = d2[y][k];x = f[x][k],y = f[y][k];}}distance[cnt ++ ] = d1[x][0];distance[cnt ++ ] = d1[y][0];//此时x和y距离它们的lca只有一步，也就是只有的d1 = w,而d2 = -INF,不用加}int dist1 = -INF,dist2 = -INF;//按照老规矩更新for(int i = 0;i < cnt ;++i){int d = distance[i];if(d > dist1)dist2 = dist1,dist1 = d;else if(d != dist1 && d > dist2)dist2 = d;}//能换最大值肯定是换最大值更优if(z > dist1)return z - dist1;if(z > dist2)return z - dist2;return INF;//换不了就返回INF，因为我们最后要的是最小值（严格次小生成树）
}ll kruskal(){ll res = 0;for(int i = 1;i <= n;++i)//千万别往了并查集初始化！！！fa[i] = i;sort(e + 1,e + 1 + m);memset(head,-1,sizeof head);for(int i = 1;i <= m;++i){int x = e[i].x,y = e[i].y,z = e[i].z;int fx = Find(x);int fy = Find(y);if(fx != fy){fa[fx] = fy;e[i].used = true;res += z;add(x,y,z);add(y,x,z);}}return res;
}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i <= m;++i){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);e[i] = {x,y,z};}ll sum = kruskal();bfs(1);//lca预处理ll res = 1e18;//会爆intfor(int i = 1;i <= m;++i){if(!e[i].used){//对于所有非树边int x = e[i].x,y = e[i].y, z = e[i].z;res = min(res,sum + lca(x,y,z));}}printf("%lld\n",res);return 0;
}

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