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内容要点：

V01．29(2009)No．3数学杂志J．of Math．(PRC)Abel变换数值反演的积分算子方法。吕小红，吴传生(武汉理工大学理学院，湖北武汉，430070)摘要：本文研究了Abel变换的数值反演问题．利用Abel变换的理论反演公式与数值求导的积分算子法相结合的方法．对反演公式中奇异积分合理处理。获得Abel变换数值反演的一种算法，并进行了理论分析与数值实验．结果表明该算法具有计算简单、数值稳定等优点．关键词：Able变换；积分算子l数值反演；奇异积分MR(2000)主题分类号；65J20；65D25 中图分类号：0241．2；0241．4文献标识码，A 文章编号：0255—7797(2009)03—0383-041 引言Abel变换或Abel积分方程在力学、光谱学、地震学、等离子物理及散射理论等众多领域有着广泛的应用‘川．但Abel积分方程的求解问题是一个典型的不适定问题，即数据测量中微小的误差会导致解的巨大误差r引，因此必须采用特殊的方法处理．前解决的方法主要有两类：一是直接对Abel积分方程应用正则化的方法嘲I二是寻找一种稳定的数值微分方法然后通过反演公式获得原方程稳定的近似解[4’5]．我们考虑下述类型的Abel积分方程的求解问题：Tu一鬲妥I F竺≤刮t一厂(s)，0≤s≤1 (1)一而J o百轳一八"’≮5≮1 u’其中，，(o)=0，口∈(o，1)为常数，甜(￡)为待求函数．在一定条件下，问题(1)有如下的理论反演公式[5] 础)一T-1f一志J。尚ds，0≤￡≤1(2)显然，式(2)右端为奇异积分。若已求出厂(s)的稳定导数／(s)，一般可用带权的Gauss型积分公式获得问题(1)稳定的近似解‘4。，但其计算量太大．文献[5]提出一种解决奇异积分的方法，但它在端点及附近点的逼近效果不太好．为解决奇异积分和端点附近的缺陷，对式(2)右端项作分部积分可得z‘(￡)一元—二iEf'(o)t1_4+I／，(5)(￡一s)1”d5]，0≤t≤1(3)此时式(3)中的积分不再有奇异性，本文首先采用积分算予方法求得／(o)，／，(s)的稳定近似，然后用简单的复化梯形积分公式对式(3)进行数值积分，从而得到“(￡)的稳定的近似．数值实验结果表明该方法具有计算简单、精度高、数值稳定等优点．*收稿日期：2008—08-12 接收日期：2009-03-16基金项目：中国博士后基金资助项目(No．20080431004)作者简介：吕小红(1969一)。男，湖北黄陂，硕士生。讲师。从事反问题研究．E-mail：[email protected]．com万方数据384 数 学 杂 志 Vol_292求导的积分算子方法在实际问题中，方程(1)右端通常为带有扰动数据的^(s)，满足条件I，一^峙≤艿， (4)其中艿为已知误差水平．下面我们给出由扰动数据^(s)求／(o)、／，(s)的稳定近似的积分算子方法．假定，(s)∈c[口，63，J(z)∈cr[一1，1]为非负的偶函数，I J(x)dx=1，且满足．厂∞(1)=J‘o(一1)一O，i=o，1，…，r—1．满足以上条件的函数J(z)是存在的，比如可以取J(z)一雨———I一(1一z2)7． j一。(1一tz刈z定义积分算子 (历似s)=半f。∥∽弛+缸)出其中h>0为参数，当^一。时，(D：厂)(s)一，一(s)．在一定条件下(D：厂)(s)可作为，一(s)的近似[6]．注意到(D：，)(s)∈C[口+．}l，6一^]，为了得到厂(s)在[口，6]上任意一点的二阶导数，我们考虑将厂(5)延拓至[口一Jll，6+J11]，f3f(a)一3f(a+(口～s))+f(a+2(a—s))a—h≤s

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