随机误差与Allan方差的理解

以下主要以，MEMS惯性器件的误差分析为例：

1.确定性误差

主要考虑标度因数误差、零偏和轴失准误差。
1.1加速度计
加速度计误差模型
[ f x o f y o f z o ] = [ s a x k x y k x z ∇ x k y x s a y k y z ∇ y k z x k z y s a z ∇ z ] [ f x i f y i f z i 1 ] \begin{bmatrix}f_{xo}\\ f_{yo}\\ f_{zo} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}s_{ax} & k_{xy} & k_{xz} & \nabla_x\\ k_{yx} & s_{ay} & k_{yz} &\nabla_y\\ k_{zx} & k_{zy} & s_{az} & \nabla_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_{xi}\\ f_{yi}\\ f_{zi}\\1 \end{bmatrix} ⎣⎡fxofyofzo⎦⎤=⎣⎡saxkyxkzxkxysaykzykxzkyzsaz∇x∇y∇z⎦⎤⎣⎢⎢⎡fxifyifzi1⎦⎥⎥⎤
6位置静态标定法
各轴输入加速度向量：
I = [ + g − g 0 0 0 0 0 0 + g − g 0 0 0 0 0 0 + g − g 1 1 1 1 1 1 ] I=\begin{bmatrix} +g & -g & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +g & -g & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & +g & -g\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} I=⎣⎢⎢⎡+g001−g0010+g010−g0100+g100−g1⎦⎥⎥⎤
加速度计实际输出值：
O = [ f x 1 f x 2 f x 3 f x 4 f x 5 f x 6 f y 1 f y 2 f y 3 f y 4 f y 5 f y 6 f z 1 f z 2 f z 3 f z 4 f z 5 f z 6 ] O=\begin{bmatrix} f_{x1} & f_{x2} & f_{x3} & f_{x4} & f_{x5} & f_{x6} \\ f_{y1} & f_{y2} & f_{y3} & f_{y4} & f_{y5} & f_{y6} \\ f_{z1} & f_{z2} & f_{z3} & f_{z4} & f_{z5} & f_{z6} \\ \end{bmatrix} O=⎣⎡fx1fy1fz1fx2fy2fz2fx3fy3fz3fx4fy4fz4fx5fy5fz5fx6fy6fz6⎦⎤
有 O = G I O=GI O=GI
根据最小二乘公式：
G = O I T ( I I T ) − 1 G=OI^T(II^T)^{-1} G=OIT(IIT)−1
（每个位置可以提供3个约束（方程），共12个未知数）。

1.2陀螺仪
陀螺仪误差模型
[ ω x o ω y o ω z o ] = [ s g x k x y k x z ε x k y x s g y k y z ε y k z x k z y s g z ε z ] [ ω x i ω y i ω z i 1 ] \begin{bmatrix}\omega_{xo}\\ \omega_{yo}\\ \omega_{zo} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}s_{gx} & k_{xy} & k_{xz} & \varepsilon_x\\ k_{yx} & s_{gy} & k_{yz} &\varepsilon_y\\ k_{zx} & k_{zy} & s_{gz} & \varepsilon_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\omega_{xi}\\ \omega_{yi}\\ \omega_{zi}\\1 \end{bmatrix} ⎣⎡ωxoωyoωzo⎦⎤=⎣⎡sgxkyxkzxkxysgykzykxzkyzsgzεxεyεz⎦⎤⎣⎢⎢⎡ωxiωyiωzi1⎦⎥⎥⎤
6位置静态标定法
各轴输入角速度向量：
I = [ + ω − ω 0 0 0 0 0 0 + ω − ω 0 0 0 0 0 0 + ω − ω 1 1 1 1 1 1 ] I=\begin{bmatrix} +\omega & -\omega & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +\omega & -\omega & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & +\omega & -\omega\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} I=⎣⎢⎢⎡+ω001−ω0010+ω010−ω0100+ω100−ω1⎦⎥⎥⎤
陀螺仪实际输出值：
O = [ ω x 1 ω x 2 ω x 3 ω x 4 ω x 5 ω x 6 ω y 1 ω y 2 ω y 3 ω y 4 ω y 5 ω y 6 ω z 1 ω z 2 ω z 3 ω z 4 ω z 5 ω z 6 ] O=\begin{bmatrix} \omega_{x1} & \omega_{x2} & \omega_{x3} & \omega_{x4} & \omega_{x5} & \omega_{x6} \\ \omega_{y1} & \omega_{y2} & \omega_{y3} & \omega_{y4} & \omega_{y5} & \omega_{y6} \\ \omega_{z1} & \omega_{z2} & \omega_{z3} &\omega_{z4} & \omega_{z5} & \omega_{z6} \\ \end{bmatrix} O=⎣⎡ωx1ωy1ωz1ωx2ωy2ωz2ωx3ωy3ωz3ωx4ωy4ωz4ωx5ωy5ωz5ωx6ωy6ωz6⎦⎤
有 O = G I O=GI O=GI
根据最小二乘公式：
G = O I T ( I I T ) − 1 G=OI^T(II^T)^{-1} G=OIT(IIT)−1
（更多的数据同样可以解）

2.随机误差

2.1加速度计
待补充

2.2陀螺仪
主要包括角度量化噪声（-1）、角度随机游走（-1/2）、零偏不稳定性（0）、角速率随机游走（1/2）和角速率斜坡（1）。
在 l o g 10 τ − l o g 10 σ ( τ ) log_{10}\tau-log_{10}\sigma(\tau) log10τ−log10σ(τ)双对数图上，如何读出误差系数：
量化噪声（Quantization Noise, QN） 其误差系数 Q Q Q，单位为 ′ ′ '' ′′：斜率为-1的线的延长线与 τ = 1 \tau = 1 τ=1交点的纵坐标读数为 3 Q \sqrt{3}Q 3 Q；
角度随机游走（Angular Random Walk, ARW） 其误差系数 N N N，单位为 ( ∘ ) / h 1 / 2 (^\circ)/h^{1/2} (∘)/h1/2：斜率为-1/2的线的延长线与 τ = 1 \tau = 1 τ=1交点的纵坐标读数即为 N N N；
零偏不稳定性噪声（Bias Instability, BI） 其误差系数 B B B，单位为 ( ∘ ) / h (^\circ)/h (∘)/h：斜率为0的线的延长线与 τ = 1 \tau =1 τ=1交点的纵坐标读数为 2 B / 3 2B/3 2B/3；
角速率随机游走（Rate Random Walk, RRW） 其误差系数 K K K，单位为 ( ∘ ) / h 3 / 2 (^\circ)/h^{3/2} (∘)/h3/2：斜率为1/2的线的延长线与 τ = 1 \tau = 1 τ=1交点的纵坐标读数为 K / 3 K/\sqrt{3} K/3 ；
速率斜坡（Rate Ramp, RR） 其误差系数 R R R，单位为 ( ∘ ) / h 2 (^\circ)/h^{2} (∘)/h2：斜率为1的线的延长线与 τ = 1 \tau = 1 τ=1交点的纵坐标读数为 R / 2 R/\sqrt{2} R/2 ；

单位换算问题？读出误差系数之后该怎么使用？

MEMS陀螺：较明显的三段 -1/2(0.01s-1s)、0(5s-100s)、1/2(>100s)
光纤陀螺：两段 -1/2(0.005s-200s)、0(很短)、1/2(>1000s)
激光陀螺：一段 -1(0.01s-10000s整条曲线)
陀螺精度越高，对应的Allan方差曲线应当越靠近横轴。

3. 深一步理解