双色汉诺塔算法的证明—

数学归纳法

我们先来了解一下数学归纳法（这个我高中的时候数学有选修的，可惜老师没讲，但是我自己还是自学了的）
数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。——百度百科
我总结其步骤大致为
1.证明初始状态成立；
2.假设某一状态成立；
3.证明2中状态的下一状态也成立；
4.得出结论：对于所有情况都成立——因为我们2中的状态具有普遍性；

假设

如果你在看这个问题，相信你已经知道什么是单色汉诺塔以及单色的解法，而双色汉诺塔如下

我们不妨将颜色转变为两个状态，假设偶数盘状态为0，奇数盘状态为1。
最容易让人想到的假设是：
1.1个盘肯定满足；
2.假设n-1个盘满足；
证明n个盘满足，证明如下：
n个盘的移动步骤：
1.hanoi(n-1,A,B,C)；
2.move(n,A,B)；
3.hanoi(n-1,C,A,B);
首先第一步我们已经在2的假设中假设满足，第二步也满足，现在看第三步，将n-1个盘从C借助A移到B，假设B上现在没有第N个盘，显然满足，但是现在有第N个盘，于是我们要证明，在移动过程中，B上的倒数第二的盘（即第N个盘上面的那个）一定与第N个盘奇偶性不同，即与第N-1个盘的奇偶性相同，可以发现，这个证明转化了，而且是回到N-1的规模，即假设2，这就是说，我们这个假设是不太合理的（至于这个假设是能否证明，我认为能，只不过要麻烦一些），我们发现，上述的证明过程提到了N与N-1的奇偶性，不妨在深入一点，即是原始柱，辅助柱与目标柱最下面一个盘的奇偶性（这里我也不知道怎么讲才能更明白，因为我是在一个类似上帝视角，我只能尝试的去解释这个假设的转换如不理解，直接看下面的假设即可，谢谢理解），于是我们更新一下假设：
1.1个盘时显然成立
2.假设n-1个盘满足，且在移动过程中，三个柱子的最下面盘的奇偶性有如下关系：起始柱的奇偶性与辅助柱不同，与目标柱相同（如果n-1个从A柱通过B移到C，那么这个过程中A与C最下面的那个盘的奇偶性相同，而与B不同）——这个显然1个时也满足（0个盘时奇偶性可随便定义）；
3.证明n个盘也满足；

证明

不妨设n为偶数，这里1表示奇数盘0为偶数盘，同样的，将n个移动也有三个步骤：
1.hanoi(n-1,A,B,C)；
2.move(n,A,B)；
3.hanoi(n-1,C,A,B);
起始状态为：
A柱：101010…1（第n-1个盘）0（第n个盘）
B柱：空
C柱：空
1和2显然满足（因为2使我们假设的满足），现在证明3满足，现在的情况如下
A柱：空
B柱：0（第n个盘）
C柱：10101010…1（第n-1个盘）
于是我们将n-1个盘重复n个盘的三个步骤（只不过这里的辅助柱为A，起始柱为C，而n个盘时起始柱为A，辅助柱为B）移动过程中，那么C柱的最低端一直是第n-1个盘，即为1（因为他只需要动一次，具体请看汉诺塔问题），而A柱将一直为0，也就是A：0，B：0，C：1，这是在移动n-1个盘的步骤中必须满足的，但是我们别忘了，这是包含在第n个盘移动的步骤中，于是从第n个盘的角度来说起始柱为A，辅助柱为C，那么必然有A：0，B：0，C：1，可以看到，这个分析无论从第n-1个还是第n个来说，都是相同的，所以显然，第三步也满足，那么显然都满足，假设成立，从而可以看出，双色汉诺塔与单色汉诺塔的移动是没有区别的，因此代码也一样，可以自己去移动验证，下面贴出代码，方便各位验证，当然很多知道单色的应该用不到（请注意以下代码B是最终的目标柱，而不是C）

#include <iostream>
using namespace std;
//递归函数
void hanoi(int n,char a,char b, char c)
{//判断递归终点if(n==1) {cout<<n<<": "<<a<<" move to "<<b<<endl;return;}//递归主要内容，也有人也说三行代码搞定，大概就是下面的三行吧23333 else{hanoi(n-1,a,c,b);cout<<n<<": "<<a<<" move to "<<b<<endl;hanoi(n-1,c,b,a);}
}
int main()
{int n;char a='A',b='B',c='C';cout<<"请输入合适移动的规模，注意规模不能太大"<<endl;cin>>n;hanoi(n,a,b,c);return 0;
}

关于递归函数的事，我们老师说过一句话我觉得很好，递归的函数是你定义的，但是他的操作是上天给的，我的理解就是，因为汉诺塔递归是从后往前的逆过程，人很难去理解计算机怎么操作的（当然你可以一步步手动操作试试），所以我刚学递归时很难理解为啥仅三行就能解决这个问题，因此我们只要处理好边界条件就行，其余的交给电脑吧。学艺不精，若有错误或不严谨的地方烦请指正，或者有更好的理解希望可以分享高见，感谢浏览

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