简单理解函数f(x；θ)中分号的含义

注，本文理解可能有不准确甚至有误的地方，仅供参考

我们知道，f(x)f(x)f(x)其实就是一个函数，输入变量值xxx，在经过规则fff处理后，最终拿到一个结果。

另一种常见的情况是，比如概率分布P(x)P(x)P(x)，其本质上也是一个以xxx为自变量的函数，在变量XXX的值为xxx的情况下，拿到一个结果，这个结果的意义为变量XXX取到xxx的概率。

而f(x;θ)f(x;\theta)f(x;θ)，其实意思就是f(x)f(x)f(x)，只不过强调了下函数的参数为θ\thetaθ。这个θ\thetaθ可以是某个确定的常量，也可以是多个确定常量的总体(比如深度神经网络中的全体可训练参数)。例如：θ2x+2θ+1\theta^2x + 2\theta + 1θ2x+2θ+1，θ=3\theta = 3θ=3，这个函数自变量是xxx，自然可以写成f(x)f(x)f(x)；又因为xxx的系数(参数)是θ\thetaθ(某个已知或未知的确定值)，因此可以表达为f(x;θ)f(x;\theta)f(x;θ)。

根据以上讨论的这些，现在讨论一个比较复杂的情况。比如，N(x;0,I)\mathcal{N}\left(x ; \mathbf{0}, \mathrm{I}\right)N(x;0,I)的意思是什么？
我们知道，N(0,I)\mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathrm{I}\right)N(0,I)表示标准高斯分布，均值为0，方差为1，其本质上也是一个概率密度函数：f(x)=12πe−x22f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}f(x)=2π1e−2x2。从这里可以发现，一般的函数我们都是强调自变量本身(比如xxx)，而在概率论里面有时候强调的是函数参数本身(比如高斯分布的均值和方差)，而淡化了输入变量(默认为xxx，省略)。因此N(x;0,I)\mathcal{N}\left(x ; \mathbf{0}, \mathrm{I}\right)N(x;0,I)相比与N(0,I)\mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathrm{I}\right)N(0,I)的区别就在于显式强调了函数的输入为xxx。

最后再放个更复杂的东西：q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI)q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_{t-1}\right)=\mathcal{N}\left(\mathbf{x}_t ; \sqrt{1-\beta_t} \mathbf{x}_{t-1}, \beta_t \mathrm{I}\right)q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βtxt−1,βtI)。
这个东西分多步看。首先，函数本身是个条件概率分布，q(xt∣xt−1)q\left(\mathbf{x}_t \mid \mathbf{x}_{t-1}\right)q(xt∣xt−1)表示xt−1\mathbf{x}_{t-1}xt−1已知的情况下，xt\mathbf{x}_{t}xt的分布(xt\mathbf{x}_{t}xt取各种值的概率)。而后面的这个高斯分布则强调了其输入自变量为xt\mathbf{x}_{t}xt(因为是xt\mathbf{x}_{t}xt的概率密度函数，所以自变量当然是xt\mathbf{x}_{t}xt)，而高斯分布的均值和方差则分别为1−βtxt−1\sqrt{1-\beta_t} \mathbf{x}_{t-1}1−βtxt−1和βtI\beta_t \mathrm{I}βtI，与条件分布的条件xt−1\mathbf{x}_{t-1}xt−1有关。

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