空间谱估计基础-到达角、发射角、阵列方向图

该基础知识笔记来源于空间谱估计理论与算法（王永亮…等）。

波程差

两个阵元间的波程差为：
τ=1c(xcos⁡θcos⁡φ+ysin⁡θcos⁡φ+zsin⁡φ),\tau=\frac{1}{c}(x \cos \theta \cos \varphi+y \sin \theta \cos \varphi+z \sin \varphi),τ=c1(xcosθcosφ+ysinθcosφ+zsinφ), 其中ccc为光速。

1. 平面阵

设阵元的位置为(xk,yk),k=1,...,M(x_k,y_k),k=1,...,M(xk,yk),k=1,...,M,以原点为参考点，另假设信号入射参数为(θi,φi),i=1,...,N(\theta_i,\varphi_i),i=1,...,N(θi,φi),i=1,...,N，分别为方位角(azimuth angle)和俯仰角(zenith angle)，其中方位角表示与xxx轴的夹角，则有：
τki=1c(xkcos⁡θicos⁡φi+yksin⁡θicos⁡φi).\tau_{ki}=\frac{1}{c}(x_k \cos \theta_i \cos \varphi_i+y_k \sin \theta_i \cos \varphi_i).τki=c1(xkcosθicosφi+yksinθicosφi).

2. 线阵

设阵元的位置为xk,k=1,...,Mx_k,k=1,...,Mxk,k=1,...,M,以原点为参考点，另假设信号入射参数为θi,i=1,...,N\theta_i,i=1,...,Nθi,i=1,...,N，表示为方位角(azimuth angle)，其中方位角表示与yyy轴的夹角(即与线阵防线的夹角)，则有：
τki=1c(xksin⁡θi).\tau_{ki}=\frac{1}{c} (x_k \sin \theta_i).τki=c1(xksinθi).

空间频率

表示成空间频率（Spatial Frequency）为：

ΦˉX≜sin⁡(ϕR(q))cos⁡(ηR(q))=qx∣∣qˉ∣∣,ΦˉY≜sin⁡(ϕR(q))sin⁡(ηR(q))=qy∣∣qˉ∣∣,\bar{\Phi}_X \triangleq \sin(\phi_R(\mathbf{q}))\cos(\eta_R(\mathbf{q})) = \frac{q_x}{||\bar{\mathbf{q}}||},\\ \bar{\Phi}_Y \triangleq \sin(\phi_R(\mathbf{q}))\sin(\eta_R(\mathbf{q})) = \frac{q_y}{||\bar{\mathbf{q}}||},ΦˉX≜sin(ϕR(q))cos(ηR(q))=∣∣qˉ∣∣qx,ΦˉY≜sin(ϕR(q))sin(ηR(q))=∣∣qˉ∣∣qy,其中以IRS的坐标qˉ=[px,py,pz]T\bar{\mathbf{q}}=[p_x,p_y,p_z]^Tqˉ=[px,py,pz]T为参考点。

阵列方向图

阵列输出的绝对值与来波方向/到达角(AOA)之间的关系称为天线的方向图（Pattern）。
方向图一般分成两类：1）阵列输出的累加（不考虑信号及来向），即静态方向图；2）带指向的方向图（考虑信号指向），其中信号的指向是通过控制加权相位实现。
对于某一确定的元空间阵列，在忽略噪声的条件下，第lll个阵元的复振幅为:
xl=g0e−ȷwτl,l=1,...,m,x_l = g_0 e^{-\jmath w \tau_{l}}, l =1,...,m,xl=g0e−ȷwτl,l=1,...,m,
式中g0g_0g0为来波的复振幅，τl\tau_lτl为第lll个阵元与参考点之间的延迟。设第lll个阵元的权值为wlw_lwl,那么所有阵元加权的输出为：
Y0=∑l=1mwlg0e−ȷwτl,l=1,...,m(2.4.2)Y_0 = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath w \tau_l}, l = 1,...,m \qquad (2.4.2)Y0=l=1∑mwlg0e−ȷwτl,l=1,...,m(2.4.2)
对上式取绝对值并归一化后可得到空间阵列的方向图G(θ)G(\theta)G(θ)为
G(θ)=Y0max⁡{∣Y0∣},(2.4.3)G(\theta) = \frac{Y_0}{\max\{|Y_0|\}}, \qquad (2.4.3)G(θ)=max{∣Y0∣}Y0,(2.4.3) 如果式中$w_l = 1,l=1,2…,m, $，则上式为静态方向图，则上式为静态方向图，则上式为静态方向图G_0(\theta)$。
线面我们将针对阵列的类型分开讨论。

1. 均匀线阵（Uniform Linear Array）

假设均匀线阵的问距为ddd，且以最左边的阵元为参考点（原点），另假设信号入射方位角为θ\thetaθ，其中方位角表示与线阵法线方向的夹角，则阵元之间的波程差

τ=1c(xksin⁡θ)=1c(l−1)(dsin⁡θ)(2.4.4)\tau = \frac{1}{c} (x_k \sin \theta) = \frac{1}{c} (l-1) (d \sin \theta) \qquad (2.4.4)τ=c1(xksinθ)=c1(l−1)(dsinθ)(2.4.4)
则式（2.4.2）可简化成：Y0=∑l=1mwlg0e−ȷwτl=∑l=1mwlg0e−ȷ2πλ(l−1)dsin⁡θ=∑l=1mwlg0e−ȷ(l−1)βY_0 = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath w \tau_l} = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda}(l-1)d\sin \theta} = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath(l-1) \beta}Y0=l=1∑mwlg0e−ȷwτl=l=1∑mwlg0e−ȷλ2π(l−1)dsinθ=l=1∑mwlg0e−ȷ(l−1)β 其中β=2πdsin⁡θλ\beta = \frac{2 \pi d \sin \theta}{\lambda}β=λ2πdsinθ，λ\lambdaλ为入射信号的波长。
当上式wl=1,l=1,2,...,mw_l = 1, l = 1,2,...,mwl=1,l=1,2,...,m时，可进一步简化为
Y0=mg0eȷ(m−l)β/2sin⁡(mβ/2)msin⁡(β/2)(2.4.5)Y_0 = m g_0 e^{\jmath (m-l)\beta/2} \frac{\sin (m\beta / 2)}{m \sin (\beta /2)} \qquad (2.4.5)Y0=mg0eȷ(m−l)β/2msin(β/2)sin(mβ/2)(2.4.5)
由上式可得ULA的静态方向图：
G0(θ)=∣sin⁡(mβ/2)msin⁡(β/2)∣G_0(\theta)= \left| \frac{\sin(m\beta /2)}{m \sin(\beta /2)} \right|G0(θ)=∣∣∣∣msin(β/2)sin(mβ/2)∣∣∣∣
当式（2.4.5）中的wl=eȷ(l−1)βdw_l = e^{\jmath (l-1) \beta_d}wl=eȷ(l−1)βd, βd=2πdsin⁡θdλ,l=1,...,m\beta_d = \frac{2 \pi d \sin \theta_d}{\lambda}, l =1,...,mβd=λ2πdsinθd,l=1,...,m时，可简化为：
Y0=mg0eȷ(m−1)(β−βd)2sin⁡[m(β−βd)/2]msin⁡[(β−βd)/2].Y_0 = m g_0 e^{\jmath \frac{(m-1)(\beta - \beta_d)}{2} } \frac{\sin [m(\beta-\beta_d)/2]}{m \sin [(\beta-\beta_d)/2]}.Y0=mg0eȷ2(m−1)(β−βd)msin[(β−βd)/2]sin[m(β−βd)/2].

如下，图2.4.1（a）为静态方向图，图2.4.1（b）为指向为30o30^o30o的方向图，另外加了旁瓣电平为−30dB-30\rm{dB}−30dB的切比雪夫权。

2. 平面阵列（Uniform Plane Array）

假定这个平面阵是矩阵阵列，维度为m×nm\times nm×n个阵元组成，几何关系如下图。
定义：以左上角的阵元为参考点，xxx轴上有nnn个间隔ddd的均匀线阵，θ\thetaθ和φ\varphiφ分别为方位角和俯仰角。

当竖面放置阵列（图a），信号入射到第kkk个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
τ=1c(xkcos⁡θcos⁡φ+yksin⁡θcos⁡φ)\tau = \frac{1}{c} (x_k \cos \theta \cos \varphi + y_k \sin \theta \cos \varphi )τ=c1(xkcosθcosφ+yksinθcosφ)
当竖面放置阵列（图b）和y=0y=0y=0，信号入射到第kkk个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
τ=1c(xkcos⁡θcos⁡φ+zksin⁡φ)\tau = \frac{1}{c} (x_k \cos \theta \cos \varphi + z_k \sin \varphi)τ=c1(xkcosθcosφ+zksinφ)
因此，当wi=1,g0=1w_i = 1,g_0 = 1wi=1,g0=1时，水平面放置的平面阵的方向图：
G(θ)=∑i=1me−ȷ2πλ(xicos⁡θcos⁡φ+yisin⁡θcos⁡φ)=∑i=1m∑k=1ne−ȷ2πdλ((i−1)cos⁡θcos⁡φ+(k−1)sin⁡θcos⁡φ)=∑i=1me−ȷ2πdλ((i−1)cos⁡θcos⁡φ)∑k=1ne−ȷ2πdλ((k−1)sin⁡θcos⁡φ)=Grow(θ)Gcol(θ)\begin{array}{ll} G(\theta) & = \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda} (x_i\cos \theta \cos \varphi + y_i \sin \theta \cos \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d }{\lambda} ((i-1)\cos \theta \cos \varphi + (k-1) \sin \theta \cos \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((i-1) \cos \theta \cos \varphi) } \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((k-1) \sin \theta \cos \varphi) }\\ &=G_{row} (\theta)G_{col} (\theta) \end{array}G(θ)=∑i=1me−ȷλ2π(xicosθcosφ+yisinθcosφ)=∑i=1m∑k=1ne−ȷλ2πd((i−1)cosθcosφ+(k−1)sinθcosφ)=∑i=1me−ȷλ2πd((i−1)cosθcosφ)∑k=1ne−ȷλ2πd((k−1)sinθcosφ)=Grow(θ)Gcol(θ)
即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与xxx方向）方向图Grow(θ)G_{row}(\theta)Grow(θ)与合成列子阵（平行于yyy方向）方向图Gcol(θ)G_{col}(\theta)Gcol(θ)的乘积。
因此，当wi=1,g0=1w_i = 1,g_0 = 1wi=1,g0=1时，竖面放置的平面阵的方向图：
G(θ)=∑i=1me−ȷ2πλ(xicos⁡θcos⁡φ+zisin⁡φ)=∑i=1m∑k=1ne−ȷ2πdλ((i−1)cos⁡θcos⁡φ+(k−1)sin⁡φ)=∑i=1me−ȷ2πdλ((i−1)cos⁡θcos⁡φ)∑k=1ne−ȷ2πdλ((k−1)sin⁡φ)=Grow(θ)Gcol(θ)\begin{array}{ll} G(\theta) & = \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda} (x_i\cos \theta \cos \varphi + z_i \sin \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d }{\lambda} ((i-1)\cos \theta \cos \varphi + (k-1) \sin \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((i-1) \cos \theta \cos \varphi) } \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((k-1) \sin \varphi) }\\ &=G_{row} (\theta)G_{col} (\theta) \end{array}G(θ)=∑i=1me−ȷλ2π(xicosθcosφ+zisinφ)=∑i=1m∑k=1ne−ȷλ2πd((i−1)cosθcosφ+(k−1)sinφ)=∑i=1me−ȷλ2πd((i−1)cosθcosφ)∑k=1ne−ȷλ2πd((k−1)sinφ)=Grow(θ)Gcol(θ) 即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与xxx方向）方向图Grow(θ)G_{row}(\theta)Grow(θ)与合成列子阵（平行于zzz方向）方向图Gcol(θ)G_{col}(\theta)Gcol(θ)的乘积。