李群与李代数，李括号性质的分析与证明

1. 群的概念
- 1.1 特殊正交群S0(3)与特殊欧式群SE(3).
- 1.2 李群与李代数
2. 李代数的性质与证明
- 2.1 李代数的定义
- 2.2 李括号的定义
- 2.3 三维向量 R 3 \mathbb{R}^3 R3上定义叉积 × \times ×是一种李括号的证明
- - 2.3.1 封闭性
  - 2.3.2 双线性
  - 2.3.3 自反性
  - 2.3.4 雅可比等价性
- 2.4 SO(3)对应的李代数so(3)与SE(3)对应的李代数se(3)

本文重点描述李群(Lie Group)与李代数(Lie Algebra)的相关定义与性质。
群（Group）是一种集合加一种运算组成的结构。
从李群，推导出李代数，得到了李代数是李群在单位元处的正切空间(Tangent Space)的概念。
随后，证明了三维向量上李括号的性质，即两个三维向量的李括号是李代数。

如果需要看另一种描述方法，另一种描述观点，通过相机的移动，来表达场景。如何构造SLAM移动场景的坐标表示，采用李群与李代数，来进行矩阵的操作。请看另外一篇博文：李群与李代数对SLAM移动场景的运动坐标表示。

1. 群的概念

1.1 特殊正交群S0(3)与特殊欧式群SE(3).

1.2 李群与李代数

2. 李代数的性质与证明

2.1 李代数的定义

2.2 李括号的定义

这里面需要注意的是，每个 ϕ = [ ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ] T \boldsymbol\phi=[\phi_1,\phi_2,\phi_3]^T ϕ=[ϕ1,ϕ2,ϕ3]T 生成的反对称矩阵记为 Φ \Phi Φ，Note：( ∧ \wedge ∧ 代表反对称矩阵，skew matrix)。

Φ = ϕ ∧ = [ 0 − ϕ 3 ϕ 2 ϕ 3 0 − ϕ 1 − ϕ 2 ϕ 1 0 ] \Phi = \boldsymbol\phi^{\wedge}= \left[ \begin{matrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end{matrix} \right] Φ=ϕ∧=⎣⎡0ϕ3−ϕ2−ϕ30ϕ1ϕ2−ϕ10⎦⎤

so(3)的李括号为： [ ϕ 1 , ϕ 2 ] = ( Φ 1 Φ 2 − Φ 2 Φ 1 ) ∨ [\boldsymbol\phi_1,\boldsymbol\phi_2]=(\Phi_1\Phi_2-\Phi_2\Phi_1)^{\vee} [ϕ1,ϕ2]=(Φ1Φ2−Φ2Φ1)∨。Note：( ∨ \vee ∨ 代表反对称矩阵转换回向量形式)。

2.3 三维向量 R 3 \mathbb{R}^3 R3上定义叉积 × \times ×是一种李括号的证明

有些参考材料上，写的是两个二维向量的李括号是李代数的证明。

2.3.1 封闭性

2.3.2 双线性

2.3.3 自反性

2.3.4 雅可比等价性

2.4 SO(3)对应的李代数so(3)与SE(3)对应的李代数se(3)

我们在下一章会介绍和推导指数映射和对数映射，如何从SO(3)的旋转矩阵R来求出对应的李代数so(3)。更多的内容，指数映射，与对数映射，相机位姿的变换，对场景目标点的作用，如何连续构造变换矩阵，表征场景/相机的运动。请阅读另一篇博文：李群与李代数对SLAM移动场景的运动坐标表示。

有关李代数与李群的一些数学细节证明，在这篇文章中给出描述：《SLAM十四讲》第四讲李群与李代数习题5证明。

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