标题

实际光线光路计算
- 共轴球面光学系统
- 光路计算/光线追迹
- 光路计算中的基本概念
- 符号规则
- 线段的符号规则
- 角度的符号规则
- 单个折射球面实际光线的光路计算
- - 物在有限远
  - 物在无限远
  - 转面公式
近轴光线光路计算及近轴光学基本公式
- 为什么单折射球面成像是非理想的？
- 什么样的折射面所成的像是理想像/完善像？
- 为什么选择球面作为折射面？
- 近轴光线和近轴光学
- 高斯像与高斯像面
- 近轴光线的基本公式
共轴球面系统的成像
- 垂轴放大率
- 轴向放大率
- 角放大率
- 三个放大率之间的关系
- 拉赫不变量J
- 球面反射镜成像
- 球面反射镜特殊位置物点成像
理想光学系统及其基点、基面
- 理想光学系统
- 共线成像理论
- 理想光学系统成像性质
- 理想光学系统的基点、基面
- - 主点、主平面
  - 焦点、焦平面
  - 节点、节平面
- 单个折射球面的基点，基面
- - 主点，主平面位置
  - 焦点、焦平面位置
  - 节点、节平面位置
- 共轴理想光学系统的基本模型
理想光学系统的成像
- 图解法
- - 特殊光线与性质
- 解析法
- - 牛顿公式
  - 高斯公式
- 物方焦距与像方焦距的关系
- 理想光学系统的放大率
理想光学系统的组合
- 双光组组合的等效光学系统
- 图解法
- 解析法
- 多光组组合
- - 正切计算法
透镜
- 单个折射球面的性质
- 透镜的分类
- 薄透镜
- 参考资料

实际光线光路计算

共轴球面光学系统

大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统。
平面：曲率半径 r → ∞的球面
反射：折射的特例（n′ = -n）
对单个折射球面的光路计算进行讨论，再过渡到整个系统的计算。

光路计算/光线追迹

物体发出的光线经光学系统逐面的折、反射后，会聚形成像点。

确定入射光线的位置；
跟踪光线，根据几何光学的基本定律逐面找出折、反射光线的位置；
求出像的位置。

光路计算中的基本概念

光轴:共轴球面系统的球心位于同一直线上，这条直线称为该光学系统的光轴。
光轴是光学系统的对称轴。

子午面:通过物点和光轴的截面，称为子午面。
轴上物点的子午面有无数个；
轴外物点的子午面只有一个。

物方截距，L
折射球面顶点O到入射光线与光轴的交点A的距离
L = OA

像方截距，L′
折射球面顶点O到出射光线与光轴的交点A′的距离
L′ = OA′

物方孔径角，U
入射光线与光轴的夹角
U = ∠OAE

像方孔径角，U′
出射光线与光轴的夹角
U′ = ∠OA′E

符号规则

通过截距（L、L′）与孔径角（U、U′）的大小，尚不能确定光线的准确位置。

通过截距只知道光线到顶点的距离，并不知道光线位于顶点左侧还是右侧；通过孔径角只知道光线与光轴的夹角，并不知道光线位于光轴上方还是下方。

为准确确定光线位置，并保证导出的光路计算公式具有普适性，须对各相关量的符号加以规定。

线段的符号规则

坐标方向：沿轴线段L、L′ 、r：规定光线的传播方向自左向右，顺光线方向为正，逆光线方向为负。
垂轴线段h：光轴之上为正，光轴之下为负。

起点
截距L、L′ ：以球面顶点O为起点到光线与光轴的交点。
半径r：以球面顶点O为起点到球心C。
折射面之间的间隔d：以前一面的顶点为起点到下一面的顶点。

角度的符号规则

转动方向：以锐角度量，顺时针为正，逆时针为负。

起始轴
孔径角U、U′：以光轴为起始轴转向光线。
入射角I、折射角I′：以光线为起始轴转向法线。
光轴与法线之间的夹角φ：以光轴为起始轴转向法线。
光轴>光线>法线

在标注光路图时，图上的线段和角度一律标注其绝对值，使几何量永远为正。
符号只体现方向，计算时用绝对值

单个折射球面实际光线的光路计算

在子午面内，入射/出射光线的位置由两个参量决定：截距（L/L′）与孔径角（U/U′）。
求入射光线经折射球面后的出射光线，即已知n、n′、r、L、U，求L′、U′。

物在有限远

在ΔAEC中，应用正弦定理有

sinI−L+r=sin(−U)r\frac{sinI}{-L+r} = \frac{sin(-U)}{r}−L+rsinI=rsin(−U)

sinI=L−rrsinUsin I=\frac{L-r}{r}sinUsinI=rL−rsinU

在E点，由折射定律得
sinI′=nn′sinIsin I^{'}=\frac{n}{n^{'}}sinIsinI′=n′nsinI

ϕ=I−(−U)=I′+U′\phi =I-(-U)=I^{'}+U^{'}ϕ=I−(−U)=I′+U′
即U′=U+I−I′U^{'}=U+I-I^{'}U′=U+I−I′

L′=r(1+sinI′sinU′)L^{'} =r(1+\frac{sinI^{'}}{sinU^{'}})L′=r(1+sinU′sinI′)

具有不同孔径角U的入射光线经折射后不能相交于一点。
单个折射球面对轴上物点成像是不完善的。

物在无限远

若物体位于物方光轴上无限远处，可认为由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，即L = -∞，U = 0。

转面公式

共轴球面系统由多个折射球面组合而成。以两个折射球面组成的系统为例。
第一面的折射光线就是第二面的入射光线。

近轴光线光路计算及近轴光学基本公式

为什么单折射球面成像是非理想的？

L’ = f (U)
同心光束经过折射后，出射光束不再是同心光束。球面得不到完善像点。

什么样的折射面所成的像是理想像/完善像？

设计这样一个曲面，使每条从A点射到其表面上任意一点P的光线经过折射后都行进到A′点，即光从A点走到P点所花的时间加上光从P点走到A′点所花的时间等于一个常数，也即两段路径光程之和（s+s′）为常数（与P点无关）。
据此可得到关于折射曲面表面形状的方程，解为一个复杂的四次曲面。

为什么选择球面作为折射面？

为什么选择球面作为折射面？
正确的复杂曲面加工不易，造价昂贵，只有军用特殊系统或者作为检测标准的仪器中适用。而折射球面加工简单，得到了广泛的应用。
妥协：并非将所有光线都聚集到一点，只选择相当靠近光轴的光线使其会聚于A′点。

近轴光线和近轴光学

近轴光线
孔径角U很小时，从A点发出的光线都在光轴附近很小区域内，这个区域称为近轴区。
近轴区内的光线称为近轴光线。
近轴光学
研究近轴区物像关系的光学称为近轴光学。
近似：角度的正弦值可用弧度代替，sinU ≈ u。

高斯像与高斯像面

∵i, i’, u’均与u成线性关系
∴对于给定的l值，不论u为何值，l′均为定值。
物点发出的细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，又称为高斯像。
通过高斯像点且垂直于光轴的像面，称为高斯像面。

近轴光线的基本公式

式(2-11)表示近轴光线经过球面折射前后孔径角之间的关系；
式(2-12)给出近轴光线的物像位置关系；
式(2-13)称为阿贝不变量，Q。对于一个折射球面，物空间和像空间的Q值是相等的，大小随共轭点位置而改变。

共轴球面系统的成像

在近轴区域内，有限大小的物体经过共轴球面光学系统后的成像情况
像的位置
像的缩放
像的正倒
像的虚实

垂轴放大率

垂轴放大率：像的大小与物体的大小之比
β=nl′n′l\beta=\frac{nl^{'}}{n^{'}l}β=n′lnl′
仅与共轭面位置l, lʹ有关

β > 0
y′和y同号——正像（同时位于光轴上方/下方）
l′和l同号——物像虚实相反（物像位于折射球面同侧）
β < 0
y′和y异号——倒像（分别位于光轴的上、下方）
l′和l异号——物像虚实相同（物像分别位于折射球面两侧）
|β| > 1
|y′| > |y| ——放大的像
|β| < 1
|y′| < |y| ——缩小的像
|β| = 1
|y′| = |y| ——物像大小一致

轴向放大率

像点移动量dlʹ与物点移动量dl之比，
α=nl′2n′l2=n′nβα=\frac{nl^{'2}}{n^{'}l^{2}}=\frac{n^{'}}{n}\betaα=n′l2nl′2=nn′β

α恒为正——像点随物点沿轴同向移动。
α ≠ β ——空间物体成像后会变形。
只在轴向位移很小时适用。

角放大率

一对共轭光线与光轴的夹角u′与u之比，γ=u′u\gamma=\frac{u^{'}}{u}γ=uu′

三个放大率之间的关系

拉赫不变量J

nuy=n′u′y′=Jnuy=n^{'}u^{'}y^{'}=Jnuy=n′u′y′=J
J 表征光学系统的性能：能以多高的物、多大孔径角的光线入射成像。
J 值越大，表明系统可能成像的范围越大，可能传递的能量越大。
物方参数nuy一定，物高y与孔径角u相互制约：物高越大孔径角就越小。

球面反射镜成像

反射是折射的特例，即n′ = -n。
单个折射球面成像→球面反射镜成像

α 恒为负值
当物体沿光轴移动时，
像总以相反方向沿轴移动。
当物体经偶数次反射时，
轴向放大率为正。

球面反射镜特殊位置物点成像

物位于反射镜球心位置（l = r）

放大率 β = α = -1，γ = 1。

理想光学系统及其基点、基面

理想光学系统

共轴球面系统对宽光束（u较大）成像不完善
近轴区光束太细（只有很小的孔径角），进入光学系统的能量太弱，成像太暗
近轴区视场很小（只能对物面上很小部分成像），不能反映全貌。

光学系统的功能，包括对物体细节的分辨能力、对光能量的传递能力以及传递光学信息的多少等，均由光束粗细及成像范围大小所决定。
只对细光束成完善像的系统没有实用价值。

寻找能在大范围对粗光束成完善像的光学系统
将仅在光学系统近轴区存在的完善成像拓展——能够对任意大的空间内的任意点，以任意宽的光束成完善像的光学系统——理想光学系统（高斯光学系统）。

共线成像理论

点→点：一个物点对应唯一一个像点。
直线→直线：直线成像为直线。
平面→平面：平面成像为平面。

理想光学系统成像性质

主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上；
位于过光轴的某一个截面内的物点，对应的共轭像点必位于该平面内；
过光轴的任意截面内的成像性质都是相同的；
（空间问题简化为平面问题）
物平面垂直于光轴时，像平面也垂直于光轴；
对垂直于光轴的共轭平面，垂轴放大率为常量；

一个共轴理想光学系统，如果已知
两对共轭面的位置和放大率，
或者
一对共轭面位置和放大率，以及轴上两对共轭点的位置，
则其它任意物点的像都可以求出。

可以用这些已知的共轭点和共轭面来讨论光学系统的成像性质，使问题简化——基点和基面。
一般选择特殊的共轭点和共轭面作为基点和基面。

理想光学系统的基点、基面

主点、主平面

定义：不同位置的共轭面对应着不同的垂轴放大率。垂轴放大率β = +1的一对共轭面称为主平面。
其中物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面。
主平面与光轴交点分别称为物方主点，H和像方主点，H′。

性质：
H、H′是一对共轭点，主平面上任一线段均以相等大小及相同方向成像在另一主平面上。
入射光线在物方主平面上的投射高度与出射光线在像方主平面上的投射高度一定相等。

焦点、焦平面

定义
像方焦点，F′：与无限远的轴上物点共轭
物方焦点，F：与无限远的轴上像点共轭
焦平面：过焦点的垂轴平面
像方焦距，f′：像方主点H′到像方焦点F′的距离
物方焦距，f：物方主点H到物方焦点F的距离

性质：
由物方焦平面上任一点发出的光线，经系统后以平行光束出射；过物方焦点F入射的任一光线，经系统后平行于光轴出射。

由物方无限远处射来的任何方向的平行光束，经系统后会聚于像方焦平面上；平行于光轴入射的任一光线，经系统后必通过像方焦点F′。

节点、节平面

定义
节点：角放大率γ = +1的一对共轭点。包括物方节点，J和像方节点，J′。
节平面：过节点的垂轴平面。包括物方节平面和像方节平面

性质
通过物方节点J的入射光线，经光组后出射光线必经过像方节点J′，且方向不变。
若光学系统在同一介质中，则节点与主点重合。（可证明）

单个折射球面的基点，基面

主点，主平面位置

焦点、焦平面位置

节点、节平面位置

共轴理想光学系统的基本模型

物方主点H和像方主点H′是是一对共轭点
物方焦距f和像方焦距f′不是一对共轭线段
与物方焦点F共轭的点无限远轴上像点

基点与基面构成了共轴理想光学系统的基本模型。
不同的光学系统，表现为基点与基面的相对位置不同。

一对共轭面 + 轴上两对共轭点：
一对共轭面：两个主平面
两对共轭点：无限远轴上物点与F′，F与无限远轴上像点

一对共轭面 + 轴上两对共轭点：
一对共轭面：两个节平面
两对共轭点：无限远轴上物点与F′，F与无限远轴上像点

两对共轭面：
两对共轭面：两个主平面，两个节平面

理想光学系统的成像

几何光学的基本内容是求像，即对于确定的光学系统，给定物体位置、大小、方向，求其像的位置、大小、正倒及虚实。
用一对主平面以及两个焦点表示理想光学系统。

图解法

特殊光线与性质

平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点F′；
过物方焦点F的光线，经过系统后平行于光轴；
过节点（J, J′）的光线，方向不变；
过主点（H, H′）的光线，方向不变（n = n′）；
倾斜于光轴入射的平行光束，经过系统后交于像方焦平面上某一点；
自物方焦平面上一点发出的光束，经系统后成倾斜于光轴的平行光束；
共轭光线在主平面上的投射高度相等。

如果光学系统未处于同一介质中，即f′ ≠ -f，主点与节点不重合，此时不能在主点处引出关于节点的光线。

注意物、像的虚实性：实物、实像是以实际光线相交，用实线表示；虚物、虚像是以光线延长线相交，用虚线表示。

根据物像的共轭关系和光路的可逆性，可以通过作图由物求像，也可以根据已知像的位置和大小求物。
两个以上光学系统的连续求像，把经过第一个光学系统所成的像看成物，再对第二个光学系统成像。
用图解法求像简明直观，便于判断像的位置、虚实和正倒，但其精度不高，不能完全代替计算。

解析法

如果光学系统的主平面和焦平面确定，知道物的位置和大小，就可算出像的位置和大小。

物、像位置表示中，坐标原点有不同的选择
牛顿公式——以焦点为坐标原点。
高斯公式——以主点为坐标原点。

牛顿公式

牛顿公式
参量的坐标选取
x——以物方焦点F为原点计算到物点A，由F到A的方向与光线传播方向一致为正，反之为负；
x′——以像方焦点F′为原点计算到像点A′，由F′到A′的方向与光线传播方向一致为正，反之为负；
y——物高，在光轴上方为正，下方为负；
y′——像高，在光轴上方为正，下方为负。

高斯公式

高斯公式
参量的坐标选取
l——以物方主点H为原点计算到物点A，由H到A的方向与光线传播方向一致为正，反之为负
l′——以像方主点H′为原点计算到像点A′，由H′到A′的方向与光线传播方向一致为正，反之为负
y——物高，在光轴上方为正，下方为负；
y′——像高，在光轴上方为正，下方为负。

物方焦距与像方焦距的关系

若系统中包含反射面，则两焦距之间的关系由反射面的个数决定，设反射面的数目为k, 则两焦距之间具有如下一般的形式：

两焦距之比等于相应空间介质折射率之比。

理想光学系统的放大率

理想光学系统的组合

牛顿/高斯公式+过渡公式

双光组组合的等效光学系统

共轴理想光学系统可以用主平面和焦点来代表。
根据两个已知系统的主平面和焦点位置，可求出组合系统的主平面和焦点位置。

图解法

解析法

组合系统的基点位置和焦距大小取决于以下两个方面：
两个分光组的焦距大小；
两个分光组之间的光学间隔Δ（或主面间隔d）。

多光组组合

正切计算法

透镜

透镜是组成复杂光学系统的基本元件之一。
透镜——两个单折射球面包围一种透明介质

单个折射球面的性质

主点（H, H′）与球面顶点O重合，物、像方主平面与球面顶点O相切。
单个折射球面节点（J, J′）均位于球心C，不与主点重合。

透镜的分类

按对光线的作用（或光焦度Φ的正负）分为两类
正透镜——对光线起会聚作用（Φ > 0）
双凸、平凸、正弯月
负透镜——对光线起发散作用（Φ < 0）
双凹、平凹、负弯月

薄透镜

薄透镜的基点、基面
两个主面与各个球面顶点重合，且两主面彼此重合。
薄透镜的性质仅由焦距（或光焦度）决定。

参考资料

《工程光学》——郁道银
PPT——WangJinZhang,CPOE,SZU

通俗易懂理解几何光学（二）共轴球面系统与理想光学系统相关推荐

第二章共轴球面系统的物像关系
一.单个折射球面光路计算公式 1. 表示光线位置的坐标入射光线:光线与光轴交点 A 到球面顶点的距离 L ,入射光线与光轴的夹角 U 出射光线:L',U' 2. 公式推导已知:入射光线位置 L,U ...
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通俗易懂理解几何光学（二）共轴球面系统与理想光学系统

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