乘法逆元的几种计算方法

乘法逆元是数论中重要的内容，也是 ACM 中常用到的数论算法之一。所以，如何高效的求出乘法逆元是一个值得研究的问题。

这里我们只讨论当模数为素数的情况，因为如果模数不为素数，则不一定每个数都有逆元。

定义

在 mod p的意义下我们把 xx 的乘法逆元写作 x ^ {-1}x−1。
乘法逆元有如下的性质：

乘法逆元的一大应用是模意义下的除法，除法在模意义下并不是封闭的，但我们可以根据上述公式，将其转化为乘法。

费马小定理

要求 pp 为素数。

上述公式可变形为

由乘法逆元的定义，a ^ {p - 2}ap−2 即为 aa 的乘法逆元。

使用快速幂计算 a ^ {p - 2}ap−2，总时间复杂度为 O(\log a)O(loga)。

代码

inline int pow(const int n, const int k) {long long ans = 1;for (long long num = n, t = k; t; num = num * num % MOD, t >>= 1) if (t & 1) ans = ans * num % MOD;return ans;
}
inline int inv(const int num) {return pow(num, MOD - 2);
}

扩展欧几里得

扩展欧几里得（EXGCD）算法可以在 O(\log \max(a, b))O(logmax(a,b)) 的时间内求出关于 xx、yy 的方程

的一组整数解

当 bb 为素数时，\gcd(a, b) = 1gcd(a,b)=1，此时有

时间复杂度为 O(\log a)O(loga)。

代码

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {if (!b) g = a, x = 1, y = 0;else exgcd(b, a % b, g, y, x), y -= x * (a / b);
}
inline int inv(const int num) {int g, x, y;exgcd(num, MOD, g, x, y);return ((x % MOD) + MOD) % MOD;
}

递推法

代码

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= MAXN; i++) inv[i] = ((-(MOD / i) * inv[MOD % i]) % MOD + MOD) % MOD;

下面是ACdreamers关于递推求解逆元的推导过程（个人觉得他的更好）

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

它的推导过程如下，设，那么

对上式两边同时除，进一步得到

再把和替换掉，最终得到

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。