乘法逆元总结 3种基本方法

逆元

逆元（inverse element）是在取模意义下，不能直接除以一个数，而要乘以它的逆元；a*b ≡\equiv≡ 1 (mod p) , 那么a和b互为模p意义下的逆元，比如要计算(x/a)%p,可以写成x*b%p；

方法一

费马小定理

若P为素数，则 ap−1{a^{p-1}}ap−1 ≡\equiv≡ 1 (mod p) 【费马小定理】
即：ap−2{a^{p-2}}ap−2 *a ≡\equiv≡ 1 (mod p)
所以ap−2{a^{p-2}}ap−2就是a在模p意义下的逆元

const LL mod = 1e9+7;
//快速幂
LL fastPow(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
//求x的逆元
LL inv(LL x){return fastPow(x,mod-2);
}

欧拉定理

若a和p互素（P不一定是素数），则aϕ(p){a^{\phi{(p)}}}aϕ(p) ≡\equiv≡ 1 (mod p)
即 aϕ(p)−1∗a{a^{\phi{(p)}-1}}*aaϕ(p)−1∗a ≡\equiv≡ 1 (mod p)
所以aϕ(p)−1{a^{\phi{(p)}-1}}aϕ(p)−1 就是a在模p意义下的逆元

联系

ϕ(p){\phi{(p)}}ϕ(p)称为欧拉函数，表示小于等于P且与P互素的个数，显然若p为素数，则ϕ(p)=p−1{\phi{(p)}}=p-1ϕ(p)=p−1

const LL mod = 1e9+7;
//求欧拉函数
long long phi(long long x)
{long long res = x;for(long long i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){res = res/i*(i-1);//res -= res/i;while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)res =res/x*(x-1);//res -= res/x;return res;
}
//快速幂
LL fastPow(LL a,LL b){LL ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%mod;a=(a*a)%mod;b>>=1;}return ans;
}
//求x的逆元
LL inv(LL x){return fastPow(x,phi(mod)-1);
}

方法二

扩展欧几里得算法

a*b ≡\equiv≡ 1 (mod p)
a * b+k * p = 1
a就是要求的逆元

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法
{if(b==0){x=1,y=0;return a;}LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ret;
}
LL getInv(LL a,LL mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
{LL x,y;LL d=exgcd(a,mod,x,y);return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

方法三：递推求逆元

P是模数，i是待求的逆元，我们求的是i−1{i^{-1}}i−1在mod P意义下的值
p=k*i+r,若(r<i)，则有k=p/i,r=p%i
k * i+r ≡\equiv≡ 1 (mod p)
两边同时除以i*r, k∗r−1+i−1≡0(modP){k*r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod P) }k∗r−1+i−1≡0(modP)
移项得:i−1≡−k∗r−1(modP){i^{-1} \equiv -k*r^{-1} (mod P) }i−1≡−k∗r−1(modP)
即：i−1≡−p/i{i^{-1} \equiv -p/i}i−1≡−p/i * inv[i % mod p]
边界条件是 inv[1]=1

LL inv[mod+5];
void getInv(LL mod)
{inv[1]=1;for(int i=2;i<mod;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}