概率统计Python计算：协方差与相关系数计算

我们知道，若随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)存在E(X)E(X)E(X)，E(Y)E(Y)E(Y)，E(XY)E(XY)E(XY)，则存在(X,Y)(X,Y)(X,Y)的协方差Cov(Y,X)\text{Cov}(Y, X)Cov(Y,X)：
Cov(Y,X)=E[(Y−E(Y))(X−E(X))]=E(XY)−E(X)E(Y).\text{Cov}(Y, X)=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=E(XY)-E(X)E(Y).Cov(Y,X)=E[(Y−E(Y))(X−E(X))]=E(XY)−E(X)E(Y).
若还有D(X)D(X)D(X)和D(Y)D(Y)D(Y)存在，且D(X)D(Y)>0D(X)D(Y)>0D(X)D(Y)>0，则XXX, YYY的相关系数为
ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y).\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}.ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y).
根据协方差的计算公式和相关系数的定义，编写如下的通用Python函数。

def cov(Exy, Ex, Ey):                   #协方差函数定义return Exy-Ex*Ey
def rhoxy(Exy, Ex, Ey, sigmax, sigmay): #相关系数函数定义return cov(Exy, Ex, Ey)/sigmax/sigmay

第1~2行定义的函数cov计算(X,Y)(X, Y)(X,Y)的协方差Cov(X,Y)\text{Cov}(X, Y)Cov(X,Y)。参数Exy，Ex，Ey分别表示期望E(XY)E(XY)E(XY)、E(Y)E(Y)E(Y)和E(Y)E(Y)E(Y)。第3~4行定义的函数rhoxy计算相关系数ρXY\rho_{XY}ρXY。参数Exy，Ex，Ey与cov函数的同名参数意义相同，参数sigmax和sigmay分别表示D(X)\sqrt{D(X)}D(X)和D(Y)\sqrt{D(Y)}D(Y)。
我们还知道，若XXX，YYY相互独立，则不难推得Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y)=0Cov(X,Y)=0，由时必有ρXY=0\rho_{XY}=0ρXY=0，反之却不然。
例1 设(X,Y)(X, Y)(X,Y)的联合分布律为

不难算得，E(X)=5/2E(X)=5/2E(X)=5/2，E(Y)=0E(Y)=0E(Y)=0，E(XY)=0E(XY)=0E(XY)=0，故ρXY=0\rho_{XY}=0ρXY=0。即XXX与YYY不相关。但是，
P(X=1,Y=−2)=0≠12⋅14=P(X=1)⋅P(Y=−2)P(X=1, Y=-2)=0\not=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=P(X=1)\cdot P(Y=-2)P(X=1,Y=−2)=0=21⋅41=P(X=1)⋅P(Y=−2)
故XXX与YYY不相互独立。
下列代码验证本例计算结果。

import numpy as np                                  #导入numpy
X=np.array([1, 4])                                  #X的取值
Y=np.array([-2, -1, 1, 2])                          #Y的取值
Pxy=np.array([[0, 1/4, 1/4, 0],                     #联合分布律的概率[1/4, 0, 0, 1/4]])
Ex=expect(Pxy, X)                                   #E(X)
Ey=expect(Pxy, Yv=Y, func=lambda x, y:y)            #E(Y)
Exy=expect(Pxy, X, Y, func=lambda x, y:x*y)         #E(XY)
covar=cov(Exy, Ex, Ey)                              #Cov(X,Y)
indep=independent(Pxy)                              #检验独立性
print('X与Y不相关是%s, X与Y相互独立是%s'%(covar==0, indep))

程序的2~5行完成随机向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律的数据设置。第6、7、8三行调用expect函数（详见博文《离散型自定义分布数学期望的计算》）计算期望E(X)E(X)E(X)、E(Y)E(Y)E(Y)和E(XY)E(XY)E(XY)。第9行调用上列程序定义的函数cov计算协方差Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)。第10行调用independent函数（详见博文《离散型变量独立性判断》）检验XXX与YYY是否独立。第12行输出计算结果：

X与Y不相关是True, X与Y相互独立是False

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