小波分析和尺度函数（中篇）

2011-08-28 21:34:29|  分类： 纸上谈兵|举报|字号 订阅

（接上篇）

尺度函数：

在上图中，我们对频域进行分割，当分割到某个频率j时，不再继续分割了，剩下的所有低频部分由一个低通滤波器来表示，这就可以实现对信号频谱的完整分割。这个剩余低通滤波器就是尺度函数。事实上，很容易看出，尺度函数无非就是某级多分辨率分析中的低通滤波器。也就是图（3）中最下面一级的LP。

那么现在可以看看能不能确定缩放系数j的范围。如果信号被采样为N个样本（设我们采样时，把N定为2的幂指次方），那么应满足j<log2(N)。原因是由于上面在紧支二进小波那里所讲的[0,1]区间限制。由于基本小波和函数f(t)在[0,1]区间外取零，所以假设j=log2(N)，那么由于紧支二进小波中规定，则k=0，小波函数非零值区间应满足。

而信号均匀采样后，两个样本间的距离也是1/N，这就是说，低通滤波器在时域的宽度将等于采样数据间距。所以，用这样一个低通滤波器同信号卷积（也就是滤波）时，计算将永远只涉及一个采样点，从而失去了低通滤波器对多个采样点取加权平均的作用。当j>log2(N)时，低通滤波器宽度将小于采样间距，同样无法实现低通滤波的作用。所以我们就得到了尺度j的取值上限。这也解释了为什么紧支二进小波要对信号和基本小波有取值区间限制。

而尺度j的下限，应如上述引入尺度函数处所讲，取为同尺度函数宽度相同的值。从而实现小波函数和尺度函数共同分割信号频域的目的。这样，从CWT到DWT的前两个问题都得到了解决。现在，任何一个信号的频谱都可由一系列小波函数ψ(t)和一个尺度函数φ(t)实现完全分割。那相应的信号重建，即式（6）可表达为[3]：

（8）

也就是说，信号分解为尺度函数系数和小波函数系数两部分。

还有最后一个问题，就是快速的小波分解算法。也就是说，怎么才能根据尺度函数和小波函数，得到相应分解系数。没有一个快速的算法，小波分析仍然无法应用在实际中。关于这个问题，Mallat在1989年的MRA建立过程中，给出了一个快速算法，鱼骨算法（Herringbone algorithm）。同时，我们也要引入尺度向量（Scaling Vector）的概念。

首先，我们明确一下尺度函数和小波函数索引j的关系。如图（4）中j=n-1处，我们把包括j=n-1及更大频率部分都用小波函数表达，以下部分用一个尺度函数表达。这时，尺度函数和小波函数都称为在尺度j下的函数。也就是说，尺度j的尺度函数和尺度j及其以上的所有小波函数，可以覆盖整个频域。这样，如果一个函数f(t)的频谱范围在频域尺度j-1内，那该函数可表达为j-1尺度下尺度函数（低频）和小波函数（高频）滤波（卷积）的输出，即：

（9）

(10)

从图（4）中可以看到，如j=n-3下的尺度函数频谱等同于j=n-2下尺度函数频谱对分后的低频部分。推而广之，我们可以说，某个尺度j下的尺度函数，可以表达为j+1下尺度函数与一个低通滤波器作用（卷积）后的结果。即[1]：

（11）

这个关系表达了两个相邻尺度下，尺度函数间的关系，因此称为双尺度关系（two-scale relation），或多分辨率公式（multiresolution formulation）。同理，还可从图（4）中看出，尺度j下的小波函数可由尺度j+1下的尺度函数经一个高通滤波器作用（卷积）后得到，

（12）

如果我们把式（10）中的φ和ψ分别用式（11）和式（12）中的表达进行替换（推导过程省略，感兴趣的请参阅[1]），我们将得到一个重要表达式[1]：

（13）

（14）

这个表达式说明，尺度j-1下的小波函数系数和尺度函数系数都可以通过上一个尺度j下的尺度函数系数分别经过低通滤波器h(k)和高通滤波器g(k)得到。注意式（13,14）中的离散性质，说明h(k)和g(k)仅仅是一个固定的离散的数列，这个数列h(k)就是传说中神奇的尺度向量（scaling vector）。

式（13,14）的过程如下图所示：

图（5）

也就是说，式（13,14）中，每当k增加一个单位时，滤波器h和g将平移两个单位。由于λ是上一级低通滤波器的输出系数，所以也只在一定范围内非零。这样，h或g将以两倍的速度移出λ的非零取值区。换句话说，式（13,14）为对上一级j下λ的间隔采样。计算后j-1级的λ和γ将只有j级时一半数量的采样点。

如果我们把采样后的信号f(i Δt)看作最高一级j下的尺度函数系数λj，当我们已经得到函数h(k)和g(k)时，就可以利用式（13,14）对信号进行分解，迭代进行，于是得到不同频率下的小波系数。这样，知道了h(k)和g(k)，就不需要明确求出小波函数和尺度函数，离散小波分解过程也变成了简单的求内积（式（13,14））。这就是Mallat的鱼骨算法（因为这个过程，层层分解，像图（3）右鱼骨头一样），一个快速小波系数分解计算过程。于是，到这里，我们的第三个问题也得到了解答。

总结一下，从CWT到DWT的三个问题，

第1个问题：维数冗余，通过紧支二进小波解决。

第2个问题：无限延伸，通过引入尺度函数解决。

第3个问题：快速算法，通过多分辨率分析解决。

（接下篇）

Reference：

[1].A Really Friendly Guide to Wavelets.http://polyvalens.pagesperso-orange.fr/clemens/wavelets/wavelets.html#section7

[2].Kenneth R. Castleman. Digital Image Processing。

[3].Wavelets for Kids. www.diku.dk/~jda/biosignal/kidsA.pdf

[4] A Albert Boggess Francis J. Narcowich. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis。