Tech Tuesday 22-5-31

文献阅读报告（1）——小波分析在信号特征提取中的应用

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LeBron James有Taco Tuesday，专门吃Taco的；F1也有个Tech Tuesday的专栏，专门分析各车队的黑科技；那George翟也搞一个Tech Tuesday吧（以下简称TT），怎加点学术气息不然都不好意思所自己学数学。这篇文章作为TT的第一期，无论现在还是以后，TT旨在加强自己的文献阅读能力，了解学科前沿或者一些自己觉得有意思的东西，提升自己的学术研究水平。尽量做到周二更新。

文章目录

文献阅读报告（1）——小波分析在信号特征提取中的应用
- 0 引言
- 1 小波简介
- 2 小波变换的基础理论
- - 2.1 连续小波变换
  - - 2.1.1 连续小波变换定义
    - 2.1.2 连续小波变换的性质
  - 2.2 离散小波变换
  - - 2.2.1 离散小波变换定义
    - 2.2.2 Mallat算法
  - 2.3 小波包分析
  - 2.4 几种常见的小波函数
- 本期结语

0 引言

本学期选修了杨建斌老师的小波分析。作为应用数学data science中一个重要的分支，小波分析在信号处理，图像处理等方面有着极广的应用。同时与之有极大相关性的就是Fourier分析，这个在后几期的TT会在做介绍。那就先从基础的来吧，小波分析在信号特征提取中的应用，here we go！

1 小波简介

小波变换，小波分析的发展历史我就不过多介绍了，网络上随便搜搜都比我介绍的清楚。不过要记住一个人：Jean Morlet——小波的爹。传统信号分析都是建立在Fourier变换的基础上，但Fourier分析使用的是一种全局变换，要么完全在时域要么完全频域，无法表述局部性质（非平稳信号最根本最关键的性质）。小波作为一种时频分析的工具，在时频域上都有表征信号局部特征的能力。简单来说，Fourier分析全局，小波分析局部。

2 小波变换的基础理论

这边结合此篇论文和杨建斌老师的教材，杨老师的教材有详细的介绍。

2.1 连续小波变换

2.1.1 连续小波变换定义

Def2.1.1.（连续小波变换）函数f∈L2(R)f\in L_2(\mathbb R)f∈L2(R),ψ∈L2(R)\psi\in L_2(\mathbb R)ψ∈L2(R)且满足容许条件，则fff关于ψ\psiψ的连续小波变换(CWT)定义为:
Wψf(α,β)=1β∫Rf(x)ψ∗(x−αβ)dx,α∈R,β∈R/{0}.W_\psi f(\alpha,\beta)=\frac {1}{\sqrt {\beta}}\int_\mathbb R f(x)\psi ^*(\frac {x-\alpha}{\beta})dx,\space\space\space\space \alpha\in\mathbb R,\beta\in\mathbb R/\{0\}. Wψf(α,β)=β1∫Rf(x)ψ∗(βx−α)dx, α∈R,β∈R/{0}.
其中α\alphaα,β\betaβ为平移算子和伸缩算子，ψ\psiψ称为小波（wavelet）函数，容许性满足条件为：
Cψ=∫R∣ψ^(ξ)∣2∣ξ∣dξ<∞,C_\psi=\int_\mathbb R\frac {|\hat\psi(\xi)|^2}{|\xi|}d\xi<\infty, Cψ=∫R∣ξ∣∣ψ^(ξ)∣2dξ<∞,
ψ^\hat\psiψ^为其Fourier变换。

Thm2.1.2.（逆连续小波变换）由（Def2.1.1）对于函数fff的逆小波变换为：
f=1Cψ∬R2Wψf(α,β)1βψ(x−αβ)dαdββ2f=\frac {1}{C_\psi}\iint_{\mathbb R^2}W_\psi f(\alpha,\beta)\frac {1}{\sqrt \beta}\psi(\frac {x-\alpha}{\beta})\frac {d\alpha d\beta}{\beta^2} f=Cψ1∬R2Wψf(α,β)β1ψ(βx−α)β2dαdβ

2.1.2 连续小波变换的性质

（1）小波变换满足能量守恒，它把信号分解成对时间和频率的独立贡献，同时又不丢失原信号所包含的信息。

（2）小波变换包含缩放，平移等功能。

（3）小波变换时稳定的，相邻分析窗的绝大部分是相互重叠的，相关性很强。

（4）同Fourier变换一样，具有统一性和相似性，其正逆变换具有对称性。

2.2 离散小波变换

2.2.1 离散小波变换定义

论文中直接给出了离散小波的定义，简而言之就是对α,β\alpha,\betaα,β进行离散化，取其离散值就能得到离散小波变换。但直接看定义看的我眼花缭乱，包括下面的Mallat算法看的也是很不舒服，还是去参考一下其他教材吧呜呜。

2.2.2 Mallat算法

Def2.2.1.（离散小波分解变换）给定小波滤波器（mask）a,ba,ba,b。对任意给定的离散信号f0∈l(Z)f^0\in l(\mathbb Z)f0∈l(Z),定义fjf^jfj（第j层）的小波分解为：
fj−1=22Ta(fj),dj−1=22Tb(fj)f^{j-1}=\frac {\sqrt 2}{2}T_a(f^j),\ \ \ \ d^{j-1}=\frac {\sqrt 2}{2}T_b(f^j) fj−1=22Ta(fj), dj−1=22Tb(fj)
小波系数定义为：
fj−1[k]=∑n∈Z2a[n]‾fj[2k+n]dj−1[k]=∑n∈Z2b[n]‾fj[2k+n]f^{j-1}[k]=\sum_{n\in \mathbb Z}\sqrt 2 \overline{a[n]}f^j[2k+n]\\d^{j-1}[k]=\sum_{n\in \mathbb Z}\sqrt 2 \overline{b[n]}f^j[2k+n] fj−1[k]=n∈Z∑2a[n]fj[2k+n]dj−1[k]=n∈Z∑2b[n]fj[2k+n]
其中TTT为转移算子（Transition operator）。

Def2.2.2.（离散小波重构变换）给定小波mask a,ba,ba,b与小波系数fj−1,dj−1f^{j-1} ,d^{j-1}fj−1,dj−1，第j层上的小波重构为：
W(fj−1,dj−1)=22(Safj−1+Sbdj−1)W(f^{j-1},d^{j-1})=\frac {\sqrt 2}{2}(S_af^{j-1}+S_bd^{j-1}) W(fj−1,dj−1)=22(Safj−1+Sbdj−1)
小波系数的重构：
W(fj−1,dj−1)[k]=22(Safj−1+Sbdj−1)[k]=2∑n∈Za[k−2n]fj−1[n]+2∑n∈Zb[k−2n]dj−1[n]{ W(f^{j-1},d^{j-1})[k]=\frac {\sqrt 2}{2}(S_af^{j-1}+S_bd^{j-1})[k]\\ =\sqrt2\sum_{n\in\mathbb Z}a[k-2n]f^{j-1}[n]+\sqrt2\sum_{n\in\mathbb Z}b[k-2n]d^{j-1}[n] } W(fj−1,dj−1)[k]=22(Safj−1+Sbdj−1)[k]=2n∈Z∑a[k−2n]fj−1[n]+2n∈Z∑b[k−2n]dj−1[n]
其中SSS为细分算子（Subdivision operator），a为低通滤波器，b为高通滤波器。

第0，1层上的离散小波分解，重构算法如下图所示：

其中↓2,↑2\downarrow_2,\uparrow_2↓2,↑2分别表示downsample和upsample，及隔点采样与隔点插零。

2.3 小波包分析

小波包快速算法与上面所提到的Mallat算法大同小异，不过对于各尺度上的细节部分，Mallat算法不再予进一步了解，但小波包要对各尺度上细节部分要予进一步了解。所以对比小波变换，小波包具有更精细的信号分析能力。不够这篇作为基础小波变换的理解再此就不过多阐述，以后会有专门一期会做介绍。

2.4 几种常见的小波函数

常见小波基有：Morlet小波，Haar小波，Daubechies小波（dbN），Marr小波（墨西哥帽小波），DOG小波，样条小波，Meyer小波。下面从杨老师教材里截几张图下来

本期结语

花了一下午的时间边看边写，顺便买了一个typora用于markdown的编辑。作为一位数学渣渣，只希望自己能学多少学多少，能搞定的尽量搞搞不定就开摆

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