导数及其应用 知识点总结

导数及其应用知识点总结

1、函数fx从x1到x2的平均变化率：

fx2fx1x2x1xx0

f(x0x)f(x0)x2、导数定义：fx在点x0处的导数记作yf(x0)lim；．

处的切线的斜率．

x03、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线4、常见函数的导数公式：

yfx在点

x0,fx0①C'0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；⑦(log5、导数运算法则：

ax)'1xlna；⑧(lnx)'1x

1

fxgxfxgx；

fxgxfxgxfxgx；

2

fxfxgxfxgxgx02gx3gx．

6、在某个区间a,b内，若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递增；

若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递减．7、求解函数yf(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数y'f'(x)；(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

'1如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

2如果在x0附近的左侧

9、求解函数极值的一般步骤：

(1)确定函数的定义域(2)求函数的导数f’(x)(3)求方程f’(x)=0的根

(4)用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格(5)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是：

1求函数yfx在a,b内的极值；

2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值．

扩展阅读：高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？

答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即f'(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy'0xn1xdxn1nyxnnN*y'nxn1yaxa0,a1y'alnay'exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy'1xlna1x1xdxlnxy'ysinxy'cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy'sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导(可积)，则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)''f'(x)g'(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)积的导数运算特别地：Cfx'Cf'x商的导数运算f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)g(x)2g(x)'1g'(x)特别地：'2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab(其中F'xfx)和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特别地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f'(x)

②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？

答：分割近似代替求和取极限(“以直代曲”的思想)10.定积分的性质有哪些？

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1

1dxba

ababbbbb性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0

①推广：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定积分的取值情况有哪几种？

答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

(l)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：(1)位移的导数为速度，速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

数学选修2-2推理与证明知识点必记

13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。．．．．14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：

实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？

答：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？

答：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.类比推理的思维过程是什么？答：

观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？

答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？

答：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？

答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？

答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？

答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？

答：(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立p且qp或q对所有的x都成立存在x使不成立27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．．

28.如何归缪矛盾？

答：(1)与已知条件矛盾；(2)与已有公理、定理、定义矛盾；(3)自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤是什么？．．．nnN答：(1)证明：当n取第一个值时命题成立；00．．．．(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记

30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集．．．．

Cabi|a,bR叫做复数集。

规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

实数(b0)31．数集的关系有哪些？答：复数Z一般虚数(a0)

虚数(b0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.什么是复平面？

答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对

(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作

z或abi。由模的定义可知：zabia2b2

35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？

答：①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。

注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。③复数的除法法则：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做实数化因子36.什么是共轭复数？

答：两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虚根，则10，2(9)设

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