#问题

设海明码的校验位数为 $k$ ，数据位数为 $x$ ，它们需满足一个位数公式

$2^k\geq k+x+1$

最初看到公式时我感到很疑惑啊，百思不得其解，主要的问题是最后那个1哪来的。

看着公式望了半天，一点头绪都没有，好脑袋不如烂笔头，于是我开始手写举例试着理解海明码的校验逻辑。

不写不知道，一写吓一跳。写着写着就发现了，原来这个1来的如此妖娆。

#引入(海明码原理介绍)

我们先来复习一下二进制的划分，假设现在有七位二进制数据 $x_1\rightarrow x_7$ ，用 $n_1\rightarrow n_7$ 序号来指向。为什么选择七位呢？因为它们的序号刚好可以用三位二进制来表示。

我们再来看看海明码的纠错方法。

表示序号的三个二进制位，每一个二进制位取值为1的序号个数都是4个(图中列标红)。这冥冥之中的平衡一定可以好好利用。

我们分别把二进制3-1列取值为1的序号纳入集合A、B、C。

则集合取值

A={7,6,5,4}

B={7,6,3,2}

C={7,5,3,1}

有一种大家很熟悉，校验一个序列值的方法叫做奇偶校验，偶校验计算方式是序列中所有值异或为0。

如果我们按照A、B、C的集合来分类，每个集合都进行偶校验，就可以得到3个偶校验值，它们需要等于0。由于 $x_1\rightarrow x_7$ 是固定的，所以A、B、C需要作为校验位参与运算。也就是需满足

$A \oplus x_7 \oplus x_6 \oplus x_5 \oplus x_4=0$

$B \oplus x_7 \oplus x_6 \oplus x_3 \oplus x_2=0$

$C \oplus x_7 \oplus x_5 \oplus x_3 \oplus x_1=0$

根据异或运算的性质，自己与自己本身异或为0。所以可以得到A、B、C的计算公式

$A =x_7 \oplus x_6 \oplus x_5 \oplus x_4$

$B = x_7 \oplus x_6 \oplus x_3 \oplus x_2$

$C= x_7 \oplus x_5 \oplus x_3 \oplus x_1$

海明码考虑的情况是一位纠错。当某一位出错后，A、B、C和它们对应集合数据位的异或就不再是本身与本身的异或，并且最终结果会变为1。

也就是说，接收到数据后，若 $A \oplus x_7 \oplus x_6 \oplus x_5 \oplus x_4=1$ ，则表示A对应集合有一位元素数据位出错了(集合对应的元素就是一列中二进制表示为1的元素)。同理，最后运算结果为0的集合对应的元素是没有问题的，这样就可以筛查出是具体哪一位元素出错，从而进行纠错。

比如 $n_5$ 出错，那么A=1代表第一列元素出错，B=0代表第二列元素没错，C=1代表第三列元素出错。满足所有交集的元素只有一个，也就是被筛查出来的 $n_5$ 。可以看见这种方法非常直接，因为将ABC排列成二进制数，所代表的序号就是出错的那一位。

如下图，红色方块代表本列有出错元素，A列确定了 $n_7,n_6,{\color{Red} n_5},n_4$ ，C列确定了 $n_7,{\color{Red} n_5},n_3,n_1$ ，交集 ${\color{Green} n_7},{\color{Red} n_5}$ ；而绿色方块代表一定没有出错的元素，B列排除了 ${\color{Green} n_7},n_6,n_3,n_2$ 。随后 $n_5$ 就被筛选出来了。

#探明

在上面讲述海明码纠错过程中，可能有同学已经发现问题所在了。

我们新增了三位校验位，可是只对七位数进行了纠错。

所以公式里的那个1，其实来自于我们没有画出的序号0！

我们回望A、B、C的分类，每一集合都有4个元素，看似非常规律，似乎冥冥之中决定了我们可以使用海明码这样的纠错方式。

偏偏卦不可算尽，虽然每集合都有4个元素，但元素的分布律不是均等的，不仅不是均等的，还遗漏了一个0。

所以 $k$ 个校验位，虽然能表示 $2^k$ 个序号，但最终只能带来 $2^k-1$ 的纠错能力。

同时我们需要将校验位加入传输数据，也就是真正的有效数据 $x$ 需满足 $x+k\leq 2^k-1$

#ps 会什么会少一个呢？其实很简单，只要理清楚概念。k个校验位，输出的序列(比如ABC)，含义是第ABC(二进制)个序号的数值有错，而不是总共有多少个数字之类。所以看看000代表的含义就知道少掉的一种情况去哪了——它代表序列校验正确。

#pps 海明码校验位的位置在这个问题上没有啥作用，最初我觉得它一定有什么深层含义，想了半天也没想出什么

#ppps 或许以后有时间还可以写篇博客，叫做《海明码的哲学原理》。

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