一、 “海明码” 工作原理

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海明码 可以 发现 双比特错误 , 但只能纠正 单比特错误 ;

海明码 工作原理 :

① 添加校验码 : 发送数据 , 在数据中加入 冗余信息 ( 冗余码 / 校验码 ) ;

② 校验码作用 : 每个 校验码 不仅可以校验本身的信息 , 还可以同时校验多为信息 ;

③ 比特位 多重校验 : 某些 比特位 可以 同时被多个校验码校验 ;

④ 检查差错 : 如果这个被多位校验码校验的比特位 出现错误 , 那么多个校验码校验时 , 就会知道数据 出现差错 ;

⑤ 定位差错 : 每个校验码逐个校验 , 最终能 定位出是哪个比特位出现了差错 , 从而将其纠正 ;

二、 “海明码” 工作流程

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"海明码" 工作流程 :

• 确定校验码位数
• 确定校验码位置 和 数据位置
• 求校验码值
• 检错纠错

三、 确定校验码位数

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海明不等式 : 2r≥k+r+12^r \geq k+r+12r≥k+r+1

• rrr 是冗余信息位
• kkk 是信息位

根据信息位位数 , 求出满足 海明不等式 最小的 r ;

确定校验码位数示例 : 发送数据 101101101101101101 , 求海明码位数 ;

① 数据位数 : k=6k = 6k=6 ;

② 将数据位数代入海明不等式 : 2r≥6+r+12^r \geq 6+r+12r≥6+r+1

③ 满足海明不等式最小 rrr 计算 : 2r≥7+r2^r \geq 7+r2r≥7+r , 依次从 111 开始代入 , 获取满足不等式最小的 rrr 的值为 444 ;

④ 发送数据 : 发送的数据 海明码 是 101010 位 , 其中 原始数据有 666 位 , 校验码有 444 位 ;

四、 确定校验码和数据位置

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0、 确定校验码位置

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确定校验码和数据位置 : 发送数据 101101101101101101 , 海明码位数 为 101010 位 ;

① 校验码 444 位 : P1P_1P1​ , P2P_2P2​ , P3P_3P3​ , P4P_4P4​ ;

② 数据位 666 位 : D1D_1D1​ , D2D_2D2​ , D3D_3D3​ , D4D_4D4​ , D5D_5D5​ , D6D_6D6​ ;

③ 校验码位置 : 校验码 只能放在 222 的幂次方位置 , 如 20=12^0 = 120=1 , 21=22^1 = 221=2 , 22=42^2 = 422=4 , 23=82^3 =823=8 , 2n2^n2n等位置 ;

④ 数据位置 : 数据位 按照顺序依次 放在 非校验码位置上 ;

⑤ 最终生成的数据位 :

数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1P_1P1​	P2P_2P2​	111	P3P_3P3​	000	111	111	P4P_4P4​	000	111

1、 引入二进制位

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求校验码值 :

在表格中引入二进制位 : 二进制的位数 就是 以 能代表 最大的序列索引的位数为准 , 如 该 数据 有 101010 位 , 最大索引值是 101010 , 对应二进制时 101010101010 , 需要 444 位二进制数表示 , 这里的二进制位数是 444 ;

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1P_1P1​	P2P_2P2​	111	P3P_3P3​	000	111	111	P4P_4P4​	000	111

2、 P1 校验位 计算

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P1P_1P1​ 校验的位 计算 : P1P_1P1​ 对应的二进制位是 000100010001 , 第一位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 111 位是 111 ;

• 数据位索引 333 : 001001001111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D1D_1D1​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 555 : 010010010111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D2D_2D2​ 位 , 值为 000 ;
• 数据位索引 777 : 011011011111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 999 : 100100100111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D5D_5D5​ 位 , 值为 000 ;

令所有要校验的位 异或 ( ⊕\oplus⊕ ) 计算后为 000 ;

异或计算 ⊕\oplus⊕ : 同 000 , 异 111 , 两个位不同时为 111 , 两个位相同时为 000 ;

D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕P1=01⊕0⊕1⊕0⊕P1=01⊕1⊕0⊕P1=00⊕0⊕P1=00⊕P1=0\begin{array}{lcl}D_1 \oplus D_2 \oplus D_4 \oplus D_5 \oplus P_1 &=& 0 \\\\ 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus P_1 &=& 0 \\\\ 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus P_1 &=& 0 \\\\ 0 \oplus 0 \oplus P_1 &=& 0 \\\\ 0 \oplus P_1 &=& 0 \end{array}D1​⊕D2​⊕D4​⊕D5​⊕P1​1⊕0⊕1⊕0⊕P1​1⊕1⊕0⊕P1​0⊕0⊕P1​0⊕P1​​=====​00000​

P1=0P_1 = 0P1​=0 才能使上述式子成立 , 因此 校验位 P1=0P_1 = 0P1​=0 ;

3、 P2 校验位 计算

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P2P_2P2​ 校验的位 计算 : P2P_2P2​ 对应的二进制位是 001000100010 , 第二位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 222 位是 111 ;

• 数据位索引 333 : 000000111111 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D1D_1D1​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 666 : 010101111000 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D3D_3D3​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 777 : 010101111111 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 101010 : 101010111000 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D6D_6D6​ 位 , 值为 111 ;

D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕P2=01⊕1⊕1⊕1⊕P2=00⊕1⊕1⊕P2=01⊕1⊕P2=00⊕P2=0\begin{array}{lcl}D_1 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus D_6 \oplus P_2 &=& 0 \\\\ 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus P_2 &=& 0 \\\\ 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus P_2 &=& 0 \\\\ 1 \oplus 1 \oplus P_2 &=& 0 \\\\ 0 \oplus P_2 &=& 0 \end{array}D1​⊕D3​⊕D4​⊕D6​⊕P2​1⊕1⊕1⊕1⊕P2​0⊕1⊕1⊕P2​1⊕1⊕P2​0⊕P2​​=====​00000​

P2=0P_2 = 0P2​=0 才能使上述式子成立 , 因此 校验位 P2=0P_2 = 0P2​=0 ;

4、 P3 校验位 计算

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P3P_3P3​ 校验的位 计算 : P3P_3P3​ 对应的二进制位是 010001000100 , 第 333 位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 333 位是 111 ;

• 数据位索引 555 : 000111010101 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D2D_2D2​ 位 , 值为 000 ;
• 数据位索引 666 : 000111101010 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D3D_3D3​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 777 : 000111011011011 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;

D2⊕D3⊕D4⊕P3=00⊕1⊕1⊕P3=01⊕1⊕P3=00⊕P3=0\begin{array}{lcl}D_2 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus P_3 &=& 0 \\\\ 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus P_3 &=& 0 \\\\ 1 \oplus 1 \oplus P_3 &=& 0 \\\\ 0 \oplus P_3 &=& 0 \end{array}D2​⊕D3​⊕D4​⊕P3​0⊕1⊕1⊕P3​1⊕1⊕P3​0⊕P3​​====​0000​

P3=0P_3 = 0P3​=0 才能使上述式子成立 , 因此 校验位 P3=0P_3 = 0P3​=0 ;

5、 P4 校验位 计算

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P4P_4P4​ 校验的位 计算 : P4P_4P4​ 对应的二进制位是 100010001000 , 第 444 位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 444 位是 111 ;

• 数据位索引 999 : 111001001001 , 二进制的第 444 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D5D_5D5​ 位 , 值为 000 ;
• 数据位索引 101010 : 111010010010 , 二进制的第 444 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D6D_6D6​ 位 , 值为 111 ;

D5⊕D6⊕P4=00⊕1⊕P4=01⊕P4=0\begin{array}{lcl}D_5 \oplus D_6 \oplus P_4 &=& 0 \\\\ 0 \oplus 1 \oplus P_4 &=& 0 \\\\ 1 \oplus P_4 &=& 0 \end{array}D5​⊕D6​⊕P4​0⊕1⊕P4​1⊕P4​​===​000​

P4=1P_4 = 1P4​=1 才能使上述式子成立 , 因此 校验位 P4=1P_4 = 1P4​=1 ;

6、 最终海明码结果

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计算出的四个校验码 :

• P1=0P_1 = 0P1​=0
• P2=0P_2 = 0P2​=0
• P3=0P_3 = 0P3​=0
• P4=1P_4 = 1P4​=1

将上述校验码填写到表格中 :

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1=0P_1 = 0P1​=0	P2=0P_2 = 0P2​=0	111	P3=0P_3=0P3​=0	000	111	111	P4=1P_4=1P4​=1	000	111

最终海明码为 : 000000111000011011011111010101 , 蓝色是数据位 , 红色是校验位 ;

五、 检错纠错

---

发送的正确的海明码数据是 : 000000111000011011011111010101 , 蓝色是数据位 , 红色是校验位 ;

海明码数据表格是 :

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1=0P_1 = 0P1​=0	P2=0P_2 = 0P2​=0	111	P3=0P_3=0P3​=0	000	111	111	P4=1P_4=1P4​=1	000	111

假设 海明码 第 555 位出现错误 , D2D_2D2​ 数据原来是 000 , 出现错误变成 111 ;

正确海明码 : 000000111000011011011111010101

错误海明码 : 000000111000111111111111010101 , 第 555 位 的 000 变成了 111 ;

检错过程 : 444 个检验位 , 每个检验位 , 令所有要校验的位进行异或 ⊕\oplus⊕ 运算 ;

错误海明码数据表格是 :

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1=0P_1 = 0P1​=0	P2=0P_2 = 0P2​=0	111	P3=0P_3=0P3​=0	111( 错误位 )	111	111	P4=1P_4=1P4​=1	000	111

1、 P1 校验位 校验

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P1P_1P1​ 校验的位 计算 : P1P_1P1​ 对应的二进制位是 000100010001 , 第一位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 111 位是 111 ;

• 数据位索引 333 : 001001001111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D1D_1D1​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 555 : 010010010111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D2D_2D2​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 777 : 011011011111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 999 : 100100100111 , 二进制的第一位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D5D_5D5​ 位 , 值为 000 ;

令所有要校验的数据位 和 校验位 , 异或 ( ⊕\oplus⊕ ) 计算后为 000 ;

异或计算 ⊕\oplus⊕ : 同 000 , 异 111 , 两个位不同时为 111 , 两个位相同时为 000 ;

D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕P1=1⊕1⊕1⊕0⊕0=0⊕1⊕0⊕0=1⊕0⊕0=1⊕0=1\begin{array}{lcl} &&D_1 \oplus D_2 \oplus D_4 \oplus D_5 \oplus P_1 \\\\ &=& 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \\\\ &=& 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \oplus 0 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \end{array}​=====​D1​⊕D2​⊕D4​⊕D5​⊕P1​1⊕1⊕1⊕0⊕00⊕1⊕0⊕01⊕0⊕01⊕01​

P1P_1P1​ 校验位 校验出错 ; D1,D2,D4,D5D_1 , D_2, D_4, D_5D1​,D2​,D4​,D5​ 位中 , 有错误出现 ;

2、 P2 校验位 校验

---

P2P_2P2​ 校验的位 计算 : P2P_2P2​ 对应的二进制位是 001000100010 , 第二位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 222 位是 111 ;

• 数据位索引 333 : 000000111111 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D1D_1D1​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 666 : 010101111000 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D3D_3D3​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 777 : 010101111111 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 101010 : 101010111000 , 二进制的第 222 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D6D_6D6​ 位 , 值为 111 ;

D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕P2=1⊕1⊕1⊕1⊕0=0⊕1⊕1⊕0=1⊕1⊕0=0⊕0=0\begin{array}{lcl} &&D_1 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus D_6 \oplus P_2 \\\\ &=& 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 \\\\ &=& 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \oplus 1 \oplus 0 \\\\ &=& 0 \oplus 0 \\\\ &=& 0 \end{array}​=====​D1​⊕D3​⊕D4​⊕D6​⊕P2​1⊕1⊕1⊕1⊕00⊕1⊕1⊕01⊕1⊕00⊕00​

P2P_2P2​ 校验位 校验正确 ; D1,D3,D4,D6D_1 , D_3, D_4, D_6D1​,D3​,D4​,D6​ 位数据正确 ;

3、 P3 校验位 校验

---

P3P_3P3​ 校验的位 计算 : P3P_3P3​ 对应的二进制位是 010001000100 , 第 333 位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 333 位是 111 ;

• 数据位索引 555 : 000111010101 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D2D_2D2​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 666 : 000111101010 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D3D_3D3​ 位 , 值为 111 ;
• 数据位索引 777 : 000111011011011 , 二进制的第 333 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D4D_4D4​ 位 , 值为 111 ;

D2⊕D3⊕D4⊕P3=1⊕1⊕1⊕0=0⊕1⊕0=1⊕0=1\begin{array}{lcl} &&D_2 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus P_3 \\\\ &=& 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 \\\\ &=& 0 \oplus 1 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \oplus 0 \\\\ &=& 1 \end{array}​====​D2​⊕D3​⊕D4​⊕P3​1⊕1⊕1⊕00⊕1⊕01⊕01​

P3P_3P3​ 校验位 校验出错 ; D2,D3,D4D_2 , D_3, D_4D2​,D3​,D4​ 位中 , 有错误出现 ;

4、 P4 校验位 校验

---

P4P_4P4​ 校验的位 计算 : P4P_4P4​ 对应的二进制位是 100010001000 , 第 444 位是 111 , 查看 哪些 二进制位 的数据位 第 444 位是 111 ;

• 数据位索引 999 : 111001001001 , 二进制的第 444 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D5D_5D5​ 位 , 值为 000 ;
• 数据位索引 101010 : 111010010010 , 二进制的第 444 位是 111 , 红色部分 ; 对应数据位 D6D_6D6​ 位 , 值为 111 ;

D5⊕D6⊕P4=0⊕1⊕1=1⊕1=0\begin{array}{lcl} &&D_5 \oplus D_6 \oplus P_4 \\\\ &=& 0 \oplus 1 \oplus 1 \\\\ &=& 1 \oplus 1 \\\\ &=& 0 \end{array}​===​D5​⊕D6​⊕P4​0⊕1⊕11⊕10​

P4P_4P4​ 校验位 校验正确 ; D5,D6D_5, D_6D5​,D6​ 位数据正确 ;

5、 纠错

---

校验结果 :

• P1P_1P1​ 校验位 校验出错 ; D1,D2,D4,D5D_1 , D_2, D_4, D_5D1​,D2​,D4​,D5​ 位中 , 有错误出现 ;
• P2P_2P2​ 校验位 校验正确 ; D1,D3,D4,D6D_1 , D_3, D_4, D_6D1​,D3​,D4​,D6​ 位数据正确 ;
• P3P_3P3​ 校验位 校验出错 ; D2,D3,D4D_2 , D_3, D_4D2​,D3​,D4​ 位中 , 有错误出现 ;
• P4P_4P4​ 校验位 校验正确 ; D5,D6D_5, D_6D5​,D6​ 位数据正确 ;

综合上面 444 次校验结果 , 发现 D2D_2D2​ 数据错误 , 将下面的表格中的 D2D_2D2​ 错误纠正 , 由 111 纠正成 000 即可 ;

错误海明码数据表格是 :

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1=0P_1 = 0P1​=0	P2=0P_2 = 0P2​=0	111	P3=0P_3=0P3​=0	111( 错误位 )	111	111	P4=1P_4=1P4​=1	000	111

正确海明码数据表格是 :

二进制位	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
数据位索引	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
名称	P1P_1P1​	P2P_2P2​	D1D_1D1​	P3P_3P3​	D2D_2D2​	D3D_3D3​	D4D_4D4​	P4P_4P4​	D5D_5D5​	D6D_6D6​
实际值	P1=0P_1 = 0P1​=0	P2=0P_2 = 0P2​=0	111	P3=0P_3=0P3​=0	000( 纠错后的结果 )	111	111	P4=1P_4=1P4​=1	000	111

最终将错误的海明码 000000111000111111111111010101 ( 第 555 位 的 000 变成了 111 ) , 纠正 为 正确的海明码 000000111000011011011111010101 ;

【计算机网络】数据链路层 : 差错控制 ( 纠错编码 | 海明码 | “海明码“ 原理 | “海明码“ 工作流程 | 确定校验啊位数 | 确定校验码和数据位置 | 求校验码值 | 检错纠错 )★相关推荐

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