Hill Cipher 希尔密码已知明文密文求秘钥方法

Hill Cipher，已知明文密文，求秘钥

设K为秘钥，

$P=\begin{pmatrix} 5&8 \\ 17 & 3 \end{pmatrix}$ 为明文字母对应的数字矩阵，

$C=\begin{pmatrix} 15&2 \\ 16 & 5 \end{pmatrix}$ 为密文字母对应的数字矩阵。

$C=KPmod26$ 是希尔加密的过程。

为了求解K，我们需要求解P的膜26逆元。

注意，这里是膜26逆元，不是直接求逆元

由于 $P^{-1}=\left | P \right |^{-1}\cdot P^{*}$

则 $P^{-1}mod26=(\left | P \right |^{-1}mod26\cdot P^{*})mod26$

又由 $\left | P \right |^{-1}=5*3-8*17=-121$

$P^{*}=\begin{pmatrix} 3 & -8\\ -17 & 5 \end{pmatrix}$

所以

$P^{-1}mod26$

$=({\color{Red} \left | P \right |^{-1}mod26}\cdot P^{*})mod26$

$=({\color{Red} 3}P^{*})mod26$

$=\begin{pmatrix} 9 & -24\\ -51&15 \end{pmatrix}mod26$

$=\begin{pmatrix} 9 & 2\\ 1&15 \end{pmatrix}$

完。

上文中，红色部分的求解过程：

设 $n=-\frac{1}{121}mod26$

则 $-121n=1mod26$

则 $-121n mod26=1$

也就是说， $26x-121n=1$ ，其中x和n都是正整数，且 $n\in \left [ 0 ,25\right ]$ ，可以尝试得到n=3，x=14。

最近再学信息安全，讲到了这个部分，但是并没有将如何计算这个逆矩阵，自己查了很多资料（线代忘得比较干净），终于会了

敲公式不易，转载注明出处

参考：

https://www.cnblogs.com/lcbwwy/p/13125084.html

https://jingyan.baidu.com/article/925f8cb8a74919c0dde056e7.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/82035891

https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5/10034983?fr=aladdin

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