平方剩余(二次剩余)
平方剩余:
设p是奇素数(即大于2的素数),如果二次同余式 有解,则a称为模p的平方剩余,否则a称为模p的平方非剩余(二次非剩余)(之所以规定p是大于2的素数,是因为p = 2时解上面的二次同余式非常容易。
求出p = 5,7时的平方剩余和平方非剩余.
解 p = 5时,因为
p = 7时,因为
所以1,4是模5的平方剩余,而2,3是模5的平方非剩余
而且对于平方剩余还存在多解x.(对于为什么取p的完全剩余系中数的x^2,因为p的完全剩余系中就包括了模p的所有可能结果)
模p的简化剩余系中,平方剩余的个数:
设p是奇素数.在模p的简化剩余系中,有 个平方剩余, 个平方非剩余.
证明: 取模p的最小绝对简化剩余系
则模p的全部平方剩余为
因为
于是模p的全部平方剩余为
现在证明这个 平方剩余两两不同,用反证法.
假设
就有
因为p是素数,在时,或者都是不成立的。
所以所以在模p的简化剩余系中,有个平方剩余,同时有 个平方非剩余.
求模p的平方剩余时,就可以只计算下列数了:
就可以求出来全部的平方剩余解。
求出p = 11,时的平方剩余和平方非剩余.
解 p = 11时:
则全部的解就是1,3,4,5,9
判定一个数a是模p的平方剩余解的充要条件,(p是奇素数)(欧拉判别法)
a是模p平方非剩余充要条件
勒让德符号:
设p是奇素数,a是整数.勒让德(Legendre)符号定义如下:
集合里面的数值代表1:a是模p的平方剩余,-1:a是模p的平方非剩余,0:a可以被p整除
勒让德符号的性质:
a. 即:对于任何素数p,1肯定是p的平方剩余,当p是奇素数(除2外)的时候 -1 也是模p的平方剩余
b. 由
c.
d.
e.
f.
资料:https://wenku.baidu.com/view/d7a28a53b0717fd5370cdc4a.html
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