【联系】—— Beta 分布与二项分布、共轭分布

1. 伯努利分布与二项分布

伯努利分布：Bern(x|μ)=μx(1−μ)1−x\text{Bern}(x|\mu)=\mu^{x}(1-\mu)^{1-x}，随机变量 xx 取值为 0,1，μ\mu 表示取值为 1 的概率；
二项分布：Bin(m|N,μ)=(Nm)μm(1−μ)N−m\text{Bin}(m|N,\mu)=\binom{N}{m}\mu^{m}(1-\mu)^{N-m}

2. Beta 分布

Beta(μ|a,b)\text{Beta}(\mu|a,b) 是对 μ\mu 进行建模；

Beta(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1

\text{Beta}(\mu|a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}

3. 共轭分布

以 Beta(μ|a,b)\text{Beta}(\mu|a, b) 分布为参数 μ\mu 的先验，二项分布为似然函数，则后验概率（poster）：

p(μ|m,ℓ,a,b)∝μm+a−1(1−μ)ℓ+b−1

p(\mu|m,\ell, a, b)\propto \mu^{m+a-1}(1-\mu)^{\ell+b-1}

进一步，根据 BetaBeta 分布的形式，我们可定义出符合 Beta 分布形式的后验概率形式：

p(μ|m,ℓ,a,b)=Γ(m+a+ℓ+b)Γ(m+a)Γ(ℓ+b)μm+a−1(1−μ)ℓ+b−1

p(\mu|m,\ell, a, b)=\frac{\Gamma(m+a+\ell+b)}{\Gamma(m+a)\Gamma(\ell+b)}\mu^{m+a-1}(1-\mu)^{\ell+b-1}

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