机器学习基石HOW BETTER部分(1)

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第十三章

overfitting happens with excessive power, stochastic/deterministic noise, and limited data

underfitting：EIN和Eout都很大。
overfitting：EIN很小，但是Eout很大。

上图中，竖直的虚线左侧是underfitting，右侧是overfitting。
发生overfitting 的主要原因是：
1. 使用过于复杂的模型(dvc很大)；
2. 数据噪音；
3. 有限的训练数据。

把机器学习和开车进行比较吧，这样更加形象。

噪音和数据规模造成过拟合

我们可以理解地简单些：有噪音时，更复杂的模型会尽量去覆盖噪音点，即对数据过拟合！
这样，即使训练误差Ein很小（接近于零），由于没有描绘真实的数据趋势，Eout反而会更大。
即噪音严重误导了我们的假设。

还有一种情况，如果数据是由我们不知道的某个非常非常复杂的模型产生的，实际上有限的数据很难去“代表”这个复杂模型曲线。我们采用不恰当的假设去尽量拟合这些数据，效果一样会很差，因为部分数据对于我们不恰当的复杂假设就像是“噪音”，误导我们进行过拟合。所以还不如用简单的模型去解决。
如下面的例子，假设数据是由50次幂的曲线产生的（下图右边），与其通过10次幂的假设曲线去拟合它们，还不如采用简单的2次幂曲线来描绘它的趋势。

从图中可以看出，数据量少时，尽管2次假设的比10次函数的大很多，但是2次假设中和的差距比10次假设小的多，因此在样本点不多时，低次假设的学习泛化能力更强，即在灰色区域（样本不多的情况下）中，高次假设函数发生了过拟合。

上述阐述了在含有噪音的情况下，低次多项式假设比和目标函数同次的多项式假设表现更好，那如何解释在50次多项式函数中也是二次式表现好的现象呢？因为50次目标函数对于不论是2次假设还是10次假设都相当于一种含有噪音的情况（两者都无法做到50次的目标函数，因此相当于含有噪音，复杂的50次目标函数产生的数据对于2次假设和10次假设而言是含有噪音的）。

随机噪音与确定性噪音 (stochastic noise and deterministic noise)

噪音一般指随机噪音(stochastic noise)，服从高斯分布，，称作高斯噪音，其强度为σ2；还有另一种“噪音”，就是前面提到的由未知的复杂函数f(X)产生的数据，对于我们的假设也是噪音，这种是确定性噪音(Deterministic Noise)。

上图是关于2次曲线和10次曲线对数据的拟合情况，我们将overfit measure 表示为Eout(g10)−Eout(g2)。

数据样本由两个部分组成，一是目标函数产生，和在此之上夹杂的噪音。函数使用复杂度Qf表示，即Qf次多项式函数。
分别固定复杂度Qf和噪音强度/sigma2得到下面的两幅图。

左图是随机噪音对于overfitting的影响，右图是确定性噪音。
* 左图表示在固定复杂度Qf=20时，噪音强度/sigma2与样本数据量N对拟合度的影响，图中的颜色表示过拟合程度，深红色的部分表示过拟合，蓝色表示表现好，从图中得知在噪音强度越大与样本数据量N越小时，过拟合越严重。
* 右图表示在固定噪音强度/sigma2时，复杂度Qf=20与样本数据量N对拟合度的影响，从图中得知在复杂度Qf=20越大且样本数据量N越小时，过拟合越严重。
* 两图共同表示数据规模一定时，随机噪音越大，或者确定性噪音越大（即目标函数越复杂），越容易发生overfitting。

总之，导致overfitting 的因素是：
1. 数据过少；
2. 随机噪音过多；
3. 确定性噪音过多；
4. 假设过于复杂(excessive power)。

确定性噪音的图表示：

其中蓝色曲线表示目标函数，红色曲线表示2次式函数模型学习到的曲线，其中蓝色曲线的弯曲的形状使用2次函数是不可能模仿的，因此就相当于一种噪音（灰色部分）。为什么使用低次函数学习效果却好呢？；这类似于教小孩学习学习简单的问题反而有助于成长。

解决过拟合问题

对应导致过拟合发生的几种条件，我们可以想办法来避免过拟合。

正规化(regularization)和确认（validation）在下一讲介绍。

数据清洗/裁剪(data ckeaning/Pruning)

以手写数字数据为例，介绍数据清理和数据裁剪，图为手写数字为1的使用O表示；手写数字为5的使用X表示。其中在数字1中存在一个数字5的样本点，即图中左上角中的，查看该样本的原图很难看出是数字5，类似这种离不同类别很近，离相同类别很远的样本，可以认为是噪音或者是离群点（outlier）。应对该种情况，有两种措施可用：纠正标识号，即数据清理（data cleaning）的方式处理该情况；删除错误样本，即数据裁剪（data pruning）的方式处理。处理措施很简单，但是发现样本是噪音或离群点却比较困难。

Data Hinting:

“伪造”更多数据, add “virtual examples”
手写数字集略作修改产生更多的手写数字样本，达到增加数据量N的目的。如将手写数字略作旋转（rotating）和平移（shifting），但要注意旋转和平移的幅度都不能太大，如6转180°就成了9。还需注意这种方式产生的虚拟样本（virtual examples），不在符合独立同分布，因此产生的虚拟样本与实际样本差距一定不宜太大。