在工作中计算经济数值的时候，经常会遇到需要计算各种事件完成期望的工作（比如计算集齐一套特定的卡牌搭配需要抽多少次……）。本文就介绍一种比较快捷的计算方法。

一般来说，计算期望有以下几种方法：

依据期望的定义式，套用某些概型公式，数学推导计算期望。

这种方法需要解题灵感，有了灵感五分钟就解出来，没思路的话就要卡很久。工作中不是很推荐这种方法，因为工作需要稳定的产出。

用vba写程序模拟事件过程，跑很多次模拟期望次数。

这种稳定是达到了，但就是很麻烦，而且有的事件自己用vba写出来的难度几乎相当于重构了一遍项目对应模块的代码。

写出该事件的状态转移矩阵，再用VBA处理求出具体期望。

以下介绍这种方法。

什么是状态转移矩阵

就是一个矩阵，里面的元素都是非负的，且各行元素之和为1.

举个例子：
某个装备有+0，+1，+2三种状态。
+0强化至+1，成功率50%，失败后等级不变。
+1强化至+2，成功率40%，失败后等级下降至+0。
求由+0强化至+2的次数的期望值。则该事件的一步状态转移矩阵可以写为：

第一列第一行的0.5代表，强化一次从状态+0变为状态+2的概率为0.5,
同理，第i列第j行的元素即代表强化一次从状态i变为状态j的概率。
一步状态概率矩阵我们可以依照给定的情况很方便的写出来。

什么是K步状态转移矩阵

k步状态转移矩阵即为一步状态转移矩阵的K次方

矩阵的乘法规则自己百度。举个例子：
该事件的则该事件的二步状态转移矩阵可以经计算得到：

第i列第j行的元素即代表强化二次从状态i变为状态j的概率。
可以看到，强化二次从状态+0变为状态+2的概率为0.2同理我们可以获得强化K次从状态+0变为状态+2的概率。

由期望定义式可知：

Xk=K

Pk=[K步状态转移矩阵中的Pij]-[K-1步状态转移矩阵中的Pij]

然后累加即可。

之所以Pk=[K步状态转移矩阵中的Pij]-[K-1步状态转移矩阵中的Pij]，是因为[K步状态转移矩阵中的Pij]包含了[K-1步状态转移矩阵中的Pij]，减去后才是仅经过K次强化后强化至+2的次数。
（其实就是一个概率分布函数）
Pij的值最终会收敛于1

用VBA计算上述过程，代码如下（我写的程序比较糙，属于能跑起来的那种）：

Sub Matrix()
Dim i, j, k, a(1 To 10000, 1 To 10, 1 To 10), b(1 To 10000, 1 To 10, 1 To 10), p(1 To 1000), e(1 To 1000)For i = 1 To 3              '一步转移矩阵写入For j = 1 To 3a(1, i, j) = Cells(i + 3, j + 2)Next j
Next ip(1) = 0For k = 2 To 1000            'K步转移矩阵计算For i = 1 To 3For j = 1 To 3a(k, i, j) = a(1, i, 1) * a(k - 1, 1, j) + a(1, i, 2) * a(k - 1, 2, j) + a(1, i, 3) * a(k - 1, 3, j)Next jNext ip(k) = a(k, 1, 3)            'Pk=[K步状态转移矩阵中的Pij]
Next ke(1) = 0For k = 2 To 1000e(k) = e(k - 1) + k * (p(k) - p(k - 1))     '累加求和求得最终期望值
Next kMsgBox e(1000)End Sub

输出结果为：

即E（x）=7.5

我们用另一种方法验算一下。

设装备从等级k-1强化到等级k的期望是E(k)，每次强化成功概率是p1，不变概率是p2，掉级概率是p3。
现在分析从k-1级强化到k级的过程的几种情况
情况一：一次成功，由于成功的概率是p1，强化到k级花费的次数是1，这种情况下需要次数的期望是1 * p1 = p1。
情况二：不变，等级不变又回到从k-1级强化到k级的过程，不变概率是p2，强化到k级花费的次数是1 + E(k)（1代表强化等级不变消耗的次数，E(k)是从k-1级到k级的期望），这种情况下需要次数的期望是(1 + E(k)) * p2。
情况三：掉1级，掉1级变成需要从k-2级强化到k-1级，再从k-1级强化到k级，掉级概率是p3，强化到k级花费的次数是1 + E(k - 1) + E(k)（1代表强化掉级，E(k - 1)是从k-2级到k-1级的期望，E(k)是从k-1级到k级的期望），这种情况下需要次数的期望是（1 + E(k - 1) + E(k)) * p3。
综合上述三种情况，
装备从等级k-1强化到等级k的期望E(k) = p1 + (1 + E(k)) * p2 + （1 + E(k - 1) + E(k)) * p3。
再加上初始条件E(0) = 0，就可以求出E(1)、E(2)....E(n)，把E(1)、E(2)....E(n)加起来就是从0级到n级的期望了。

求得E（1）=2，E（2）=5.5

则E（x）=7.5

一致。

因为游戏中的过程状态都是离散的，所以这个方法基本可以处理所有的求期望相关的问题，只需要把一步状态转移矩阵写出来就行。

于是我们就可以处理各种骚问题了，比如打boss会有50%随机掉ABC中的任意一个装备，已知在已持有A的时候B的掉率会下降5%，但持有B的时候C的掉率上升5%，balabalabalabala，问集齐一套ABC期望打多少次boss。
这种问题用概型解或者用写程序跑都是及其痛苦的。但是我们可以快速的列出一步状态转移矩阵，用vba快速解出答案：
这种情况下，会有以下状态：都没、只有A、只有B、只有C、只有AB、只有AC、只有BC、都有，其一步状态转移矩阵是一个7*7的矩阵，你们可以试着写一下，然后用本文的算法算一下，很快就能求出从状态【都没】到状态【都有】的次数期望。

我发现了一种更简单的办法

mathematica中有内置的离散马科夫过程函数，可以进行快捷的计算：

第一步：列出一步状态转移矩阵

第二步：在Mathematica中读取一步状态转移矩阵

xlsxPath= "C:UsersAdministratorDesktop一步状态转移矩阵.xlsx";m =Import[xlsxPath, "Data"][[1]][[2 ;; 4, 2 ;; 4]]

第二行从指定excel读取数据，2;;4表示2~4行，2;;4表示2~4列(这是直接读取xlsx文件的写法，若使用mathematica link for excel加载宏，可以使用Excel[“A1:C1”]这种更好理解的语法)

第三步：定义一个马尔科夫过程:

markovProcess = DiscreteMarkovProcess[1,m];

· DiscreteMarkovProcess(Mathematica内置的离散马科夫过程函数)，接收2个参数：初始状态和状态转移矩阵

· 赋值这个离散马科夫过程到变量markovProcess

Mean[FirstPassageTimeDistribution[markovProcess,10]]

Mean用于计算分布的期望值

markovProcess = DiscreteMarkovProcess[1,m];
Mean[FirstPassageTimeDistribution[markovProcess,3]]

输出结果为7.5