随机信号分析基础——基础篇（数字特征）

书籍参考：随机信号分析基础——王永德、王军（第五版）

1、概论

一、除开有用信号表现不确定性，噪声也表现不确定性。随机过程不只是有用信号。
那么是否有用信号最终经过如滤波处理成为确定信号？

二、什么是随机过程（随机信号）？
是随时间变化的随机变量；随机过程既是时间ttt的函数，也是随机实验结果ξ\xiξ的函数，记作X(t,ξ)X(t,\xi)X(t,ξ)，常常省略ξ\xiξ不写，简记X(t)X(t)X(t)。

三、关于X(t)X(t)X(t)的内涵
1、当ttt，ξ\xiξ都为变量时，X(t)X(t)X(t)为随机过程，明确了随机信号的基础。
2、当ttt固定，ξ\xiξ为变量，X(t)X(t)X(t)为随机变量，明确了随机信号的分析方法。
3、当ttt变化，ξ\xiξ固定，X(t)X(t)X(t)为确定的时间函数，明确了随机信号分析的目标。
4、当ttt固定，ξ\xiξ固定，X(t)X(t)X(t)为确定值，明确了随机信号分析结果。

四、随机过程分类
如果任意样本函数可由过去的观测值准确预测，那么就是确定的随机过程，如：
X(t)=Asin(wt+ϕ)X(t)=Asin(wt+\phi)X(t)=Asin(wt+ϕ)，即使A或w或ϕA或w或\phiA或w或ϕ，为或都为随机变量。为什么？

例如当A为随机变量，那么X(t)X(t)X(t)为调幅信号是随机的，我们可以知道其中的有用信号——调制信号是确定的正弦信号。

2、数字特征

注：px(x;t)p_x(x;t)px(x;t)为X(t)X(t)X(t)的一维概率密度函数

一、数字期望
使用统计算子E[*]，对随机过程进行统计平均。
mX(t)=E[X(t)]=∫−∞+∞xpx(x;t)dxm_X(t)=E[X^(t)]=\int_{-\infty}^{{+\infty}}xp_x(x;t)dxmX(t)=E[X(t)]=∫−∞+∞xpx(x;t)dx

若X(t)X(t)X(t)为噪声电压，则数字期望mX(t)m_X(t)mX(t)表现为直流成分。
为什么数字期望表现为直流？

二、均方值和方差
均方值ψ2(t)=E[X2(t)]=∫−∞+∞x2px(x;t)dx\psi^2(t)=E[X^2(t)]=\int_{-\infty}^{{+\infty}}x^2p_x(x;t)dxψ2(t)=E[X2(t)]=∫−∞+∞x2px(x;t)dx
方差σx2(t)=E[∣X(t)−mX(t)∣2]=E[X2(t)]−mX2(t)\sigma^2_x(t)=E[|X(t)-m_X(t)|^2]=E[X^2(t)]-m^2_X(t)σx2(t)=E[∣X(t)−mX(t)∣2]=E[X2(t)]−mX2(t)

若X(t)X(t)X(t)为噪声电压
则均方值ψ2(t)\psi^2(t)ψ2(t)表现为总功率，方差为剔除直流分量后的交流功率。

那么最终的输出功率应该包含直流功率吗？
答案是不应该包括，因为直流不包含有用信息，是应该被剔除的。

三、自相关和协方差
自相关函数表示任意两个不同时刻状态的相关性，越大相关性越强，变化越慢，频率低；
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2px(x1,x2;t1,t2)dx1dx2R_X(t_1,t_2)= E[X(t_1)X(t_2) =\int_{-\infty}^{{+\infty}}\int_{-\infty}^{{+\infty}}x_1x_2p_x(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1dx_2RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2px(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

CX(t1,t2)C_X(t_1,t_2)CX(t1,t2)=E[E[E[{X(t1)−mX(t1)X(t_1)-m_X(t_1)X(t1)−mX(t1)}{X(t2)−mX(t2)X(t_2)-m_X(t_2)X(t2)−mX(t2)}]]]
可以看出协方差是剔除自相关函数剔除直流成分。
CX(t1,t2)=RX(t1,t2)−mX(t1)mX(t2)C_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)CX(t1,t2)=RX(t1,t2)−mX(t1)mX(t2)

3、核心数字特征

一维：数字期望mX(t)m_X(t)mX(t)
二维；自相关函数RX(t1,t2)R_X(t_1,t_2)RX(t1,t2)

为什么它们是核心数字特征？
原因在于其余的数字特征都可以通过它两间接算出。

例如：均方值ψ2(t)=E[X2(t)]=RX(t,t)\psi^2(t)=E[X^2(t)]=R_X(t,t)ψ2(t)=E[X2(t)]=RX(t,t)
由于自相关常常使用在等间隔采样的序列中，
所以RX(t1,t2)=RX(t,t+τ)R_X(t_1,t_2)=R_X(t,t+\tau)RX(t1,t2)=RX(t,t+τ)，而均方值就等于采样间隔τ=0\tau=0τ=0时的自相关。

结语：随机过程是否包含确定过程？