MATLAB符号函数的求导

MATLAB中可以使用命令diff对符号函数进行求导，并且当diff作用到向量或者是矩阵时还可以求差分

1、符号函数求导

1.1 一元符号函数求导

先定义一元符号函数

syms x
y = x^4-5*x^2+6

进行求导，当diff作用到符号函数上时可以对符号函数进行求导

第一个参数传入符号函数
第二个参数传入要求几阶导，第二个参数空着默认求1一阶导

diff(y,1) %求一阶导数  diff(y)默认求一阶导
% 4*x^3 - 10*x
diff(y,2) %求二阶导数
% 12*x^2 - 10

求导后分析结果遇到的问题
下面我们用diff对cos(x)*tan(x)进行求导

syms x
y = cos(x)*tan(x)
dy = diff(y,10)  %求十阶导数

240*sin(x)*(tan(x)^2 + 1)^2 - cos(x)*tan(x) - 4032*sin(x)*(tan(x)^2 + 1)^3 + 32640*sin(x)*(tan(x)^2 + 1)^4 - 79360*sin(x)*(tan(x)^2 + 1)^5 - 10*sin(x)*(tan(x)^2 + 1) - 3360*cos(x)*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)^2 + 57120*cos(x)*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)^3 - 1680*cos(x)*tan(x)^3*(tan(x)^2 + 1) - 357120*cos(x)*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)^4 + 353792*cos(x)*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)^5 + 6720*cos(x)*tan(x)^5*(tan(x)^2 + 1) - 5760*cos(x)*tan(x)^7*(tan(x)^2 + 1) + 512*cos(x)*tan(x)^9*(tan(x)^2 + 1) + 480*sin(x)*tan(x)^2*(tan(x)^2 + 1) - 4032*sin(x)*tan(x)^4*(tan(x)^2 + 1) + 7680*sin(x)*tan(x)^6*(tan(x)^2 + 1) - 2560*sin(x)*tan(x)^8*(tan(x)^2 + 1) + 87360*cos(x)*tan(x)^3*(tan(x)^2 + 1)^2 - 1105920*cos(x)*tan(x)^3*(tan(x)^2 + 1)^3 + 1841152*cos(x)*tan(x)^3*(tan(x)^2 + 1)^4 - 345600*cos(x)*tan(x)^5*(tan(x)^2 + 1)^2 + 1304832*cos(x)*tan(x)^5*(tan(x)^2 + 1)^3 + 128512*cos(x)*tan(x)^7*(tan(x)^2 + 1)^2 - 22176*sin(x)*tan(x)^2*(tan(x)^2 + 1)^2 + 345600*sin(x)*tan(x)^2*(tan(x)^2 + 1)^3 - 1372160*sin(x)*tan(x)^2*(tan(x)^2 + 1)^4 + 218880*sin(x)*tan(x)^4*(tan(x)^2 + 1)^2 - 1858560*sin(x)*tan(x)^4*(tan(x)^2 + 1)^3 - 316160*sin(x)*tan(x)^6*(tan(x)^2 + 1)^2 + 90*cos(x)*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)

我们看到对其求10阶导后的结果是无比的长，那么我们看看能不能用mupad工具箱来让结果显示的更加自然呢？
然而并不理想，见下图：

mupad工具箱仅能对待整理的式子进行整理，显示出“人能容易看懂的”，但是无奈我们的结果太麻烦了
这时候我们可以尝试一下simplify来进行化简整理

如下图所示，结果很明显，是我们想要的形式

那么为什么我们使用diff对cos(x)*tan(x)求导的结果这么复杂呢，其实它的求导算法就是莱布尼兹公式的展开。其实我们知道cos(x)*tan(x)等于sin(x),求高次导数一定是一个简单的式子

1.2 多元函数的导数

参数：

第一个参数是待求导符号函数
第二个参数是要对那个自变量求偏导
第三个参数是要求几阶偏导数

当连续对自变量求偏导时，放在前面的自变量先求偏导，后面的自变量后求偏导

syms x1 x2 x3
y1 = x1^5*x2+x2*x3-x1^2*x3
py1 = diff(y1,x1,1) % 对x1求一阶偏导
% 5*x2*x1^4 - 2*x3*x1
py2 = diff(y1,x1,2) % 对x1求二阶偏导
% 20*x2*x1^3 - 2*x3
py3 = diff(y1,x1,x2) % 先对x1求偏导，再对x2求偏导
% 5*x1^4
py4 = diff(y1,x2,x1) % 先对x2求偏导，再对x1求偏导
% 5*x1^4

2、差分

注意，如果diff函数作用的对象不是符号函数，而是矩阵，那么对应的功能是求差分。

2.1 向量的差分

默认求1阶差分

A=[4 5 6 3 2 1];
diff(A)  % 求向量A的一阶差分     1     1    -3    -1    -1
diff(A,2)  % 在一阶差分的基础上再差分一次     0    -4     2     0

2.2 矩阵的差分

默认是列的方向上求差分（下一行减上一行），且默认求一阶差分。
第三个参数指定为2时，在行的方向上求差分（后一列减前一列）
第二个参数用于指定求几阶差分，默认一阶差分

A=[4 5 6; 7 4 2;5 6 2]
A1=diff(A)  % 下一行减去上一行求一阶差分
%      3    -1    -4
%     -2     2     0
A2=diff(A,2) % 下一行减去上一行求二阶差分（在一阶差分的基础上再差分一次）
%     -5     3     4
A3=diff(A,2,1) % 最后面的1表示在行上进行差分（在列的方向上进行差分）
%     -5     3     4
A4=diff(A,1,2)  % 后一列减去前一列求一阶差分， 最后面的2表示在列上进行差分（在行的方向上进行差分）
%      1     1
%     -3    -2
%      1    -4
A4=diff(A,2,2) % 后一列减去前一列求二阶差分
%      0
%      1
%     -5

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MATLAB符号函数的求导

文章目录

MATLAB符号函数的求导

1、符号函数求导

1.1 一元符号函数求导

1.2 多元函数的导数

2、差分

2.1 向量的差分

2.2 矩阵的差分

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